Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué algoritmo de ordenación es estable?

  1. AQuicksort (versión in situ habitual)
  2. BHeap sort
  3. COrdenamiento por selección (versión habitual)
  4. DMerge sort
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El problema de la parada demuestra que:

  1. AAlgunos programas se ejecutan más rápido en ordenadores más rápidos, así que la parada depende del hardware
  2. BTodo programa acaba deteniéndose
  3. CHay que evitar los bucles
  4. DNingún algoritmo puede decidir, para todo programa y toda entrada, si el programa se detiene
3.Estructuras de datosMedia

Un árbol binario tiene la raíz 1 con hijo izquierdo 2 e hijo derecho 3; el nodo 2 tiene los hijos 4 (izquierdo) y 5 (derecho). ¿Cuál es el recorrido en preorden?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B1 2 3 4 5
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 2 5 1 3
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué propiedad mantiene perfectamente equilibrado todo árbol B?

  1. ACada nodo almacena una clave
  2. BLas claves solo se almacenan en la raíz
  3. CCada nodo tiene exactamente dos hijos
  4. DTodas las hojas están a la misma profundidad
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 12 vértices y 15 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 12|E| = 15
k =
6.Teoría de grafosDifícil
27711114736513ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(D) del camino más corto de A a D en el grafo ponderado.

inicio: Afin: D
d(D) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Merge sort

Por qué esta es la respuesta

Merge sort es estable si, en caso de empate, la mezcla toma primero de la mitad izquierda. Quicksort in situ, heap sort y el ordenamiento por selección no suelen ser estables.

Respuesta

D · Merge sort
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Ningún algoritmo puede decidir, para todo programa y toda entrada, si el programa se detiene

Por qué esta es la respuesta

Turing demostró que el problema de la parada es indecidible: suponer que existe un decisor lleva a una contradicción con un programa que hace lo contrario.

Respuesta

D · Ningún algoritmo puede decidir, para todo programa y toda entrada, si el programa se detiene
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · 1 2 4 5 3

Por qué esta es la respuesta

El preorden visita 1, luego su subárbol izquierdo (2, 4, 5) y después 3; las demás opciones son el recorrido en orden, el postorden y el recorrido por niveles.

Respuesta

C · 1 2 4 5 3
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Todas las hojas están a la misma profundidad

Por qué esta es la respuesta

Los nodos se dividen hacia arriba cuando están llenos y el árbol solo gana altura cuando se divide la raíz, así que todas las hojas permanecen siempre en el mismo nivel.

Respuesta

D · Todas las hojas están a la misma profundidad
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 4

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

12 − 1 = 11

Aristas que quitar

k = 15 − 11 = 4

Respuesta

k = 4
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(D) = 10

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 2, C: 7
B (2): D: 13, G: 5
G (5): D: 10, E: 18
C (7)
D (10): F: 14
F (14)
E (18)

Camino más corto

A → B → G → D
d(D) = 10

Respuesta

d(D) = 10

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