Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de multiplicar dos matrices n × n con el triple bucle estándar?

  1. AO(n³)
  2. BO(n² log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué definición de la clase P es correcta?

  1. AProblemas cuyas soluciones pueden comprobarse, pero nunca hallarse, en tiempo polinómico
  2. BProblemas que necesitan tiempo exponencial en cualquier ordenador
  3. CProblemas de decisión resolubles por un algoritmo determinista en tiempo polinómico
  4. DProblemas que pueden resolverse en paralelo
3.Estructuras de datosMedia

¿Por qué un montículo binario puede almacenarse en un arreglo sin ningún puntero?

  1. ALos arreglos mantienen automáticamente las claves ordenadas, así que no hacen falta punteros
  2. BTodas las claves de un montículo son iguales
  3. CLos montículos nunca contienen más de 100 elementos
  4. DEs un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué las bases de datos suelen usar árboles B+ en lugar de árboles B simples para los índices?

  1. ALos árboles B+ usan nodos internos binarios, lo que reduce el número de lecturas de disco
  2. BTodos los registros están en hojas enlazadas, lo que hace eficientes los recorridos por rangos
  3. CLos árboles B+ no necesitan estar balanceados
  4. DLos árboles B+ almacenan los datos solo en la raíz
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K4? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K4
H =
6.Teoría de grafosDifícil
10181314620938ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(n³)

Por qué esta es la respuesta

Hay n² entradas y cada una necesita n multiplicaciones, lo que da n³ operaciones.

Respuesta

A · O(n³)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Problemas de decisión resolubles por un algoritmo determinista en tiempo polinómico

Por qué esta es la respuesta

P contiene los problemas de decisión con un algoritmo determinista de tiempo polinómico, como comprobar si un grafo es conexo.

Respuesta

C · Problemas de decisión resolubles por un algoritmo determinista en tiempo polinómico
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Es un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas

Por qué esta es la respuesta

Ser completo significa que no hay huecos, así que los hijos del índice i están siempre en 2i + 1 y 2i + 2.

Respuesta

D · Es un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Todos los registros están en hojas enlazadas, lo que hace eficientes los recorridos por rangos

Por qué esta es la respuesta

En un árbol B+ los nodos internos solo guían la búsqueda y las hojas están enlazadas en orden de clave, así que una consulta por rango encuentra la primera clave y luego avanza por las hojas.

Respuesta

B · Todos los registros están en hojas enlazadas, lo que hace eficientes los recorridos por rangos
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 3

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Respuesta

H = 3
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 54

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

GD (3): tomar
DF (6): tomar
GE (8): tomar
GC (9): tomar
AB (10): tomar
CE (13): descartar, cierra un ciclo
DE (14): descartar, cierra un ciclo
BD (18): tomar

Peso total

W = 3 + 6 + 8 + 9 + 10 + 18 = 54

Respuesta

W = 54

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