Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árbol y bosque: |E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en K_n: (n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L: (Mᴸ)_ij

Método

Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La complejidad temporal de Fibonacci recursivo ingenuo (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) es:

ALogarítmica
BConstante
CExponencial
DLineal

2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = 2T(n/2) + n log n?

AΘ(n)
BΘ(n log² n)
CΘ(n²)
DΘ(n log n)

3.Estructuras de datosMedia

Las claves 50, 30, 70, 20, 40 se insertan en este orden en un árbol binario de búsqueda vacío. ¿Cuál es el hijo izquierdo de 30?

4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué afirmación sobre heapsort es correcta?

ANecesita un árbol binario de búsqueda como almacenamiento adicional, así que usa O(n) de memoria extra
BSe ejecuta en tiempo O(n) con cualquier entrada
COrdena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable
DEs estable y necesita O(n) de memoria adicional

5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K₈? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K₈

H =

6.Teoría de grafosDifícil

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F

d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Exponencial

Por qué esta es la respuesta

El árbol de llamadas crece aproximadamente como φⁿ (unos 1,618ⁿ). La memoización lo reduce a O(n).

Respuesta

C · Exponencial

2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Θ(n log² n)

Por qué esta es la respuesta

El nivel k hace un trabajo de unos n log(n / 2ᵏ), y sumar sobre los log n niveles da Θ(n log² n), el segundo caso ampliado del teorema maestro.

Respuesta

B · Θ(n log² n)

3.Estructuras de datos

Respuesta: C · 20

Por qué esta es la respuesta

20 es menor que 50 y menor que 30, así que pasa a ser el hijo izquierdo de 30; 40 pasa a ser su hijo derecho.

Respuesta

C · 20

4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Ordena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable

Por qué esta es la respuesta

Heapsort construye un max-heap y extrae el máximo n veces dentro del mismo arreglo; los intercambios a larga distancia pueden reordenar claves iguales.

Respuesta

C · Ordena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable

5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 2520

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; K_n tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Respuesta

H = 2520

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 27

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 7, C: 9

B (7): D: 20, E: 20

C (9): E: 13

E (13): D: 14, F: 27

D (14)

F (27)

Camino más corto

A → C → E → F

d(F) = 27

Respuesta

d(F) = 27

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