Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Por qué muchas rutinas de ordenación de las bibliotecas cambian al ordenamiento por inserción para subarrays muy pequeños?

  1. AEl ordenamiento por inserción es O(n log n) en el peor caso
  2. BEl ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas
  3. CEl ordenamiento por inserción usa menos memoria que cualquier otro algoritmo de ordenamiento con entradas grandes
  4. DLos algoritmos recursivos no pueden tratar arrays de menos de 10 elementos
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log² n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n log n)
3.Estructuras de datosMedia

Tienes una referencia a un nodo situado en medio de una lista. ¿En qué lista puedes eliminarlo en O(1)?

  1. AUna lista doblemente enlazada
  2. BUn arreglo dinámico
  3. CUna lista simplemente enlazada
  4. DUn arreglo ordenado
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué afirmación sobre heapsort es correcta?

  1. AOrdena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable
  2. BEs estable y necesita O(n) de memoria adicional
  3. CSe ejecuta en tiempo O(n) con cualquier entrada
  4. DNecesita un árbol binario de búsqueda como almacenamiento adicional, así que usa O(n) de memoria extra
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 14 vértices y 17 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 14|E| = 17
k =
6.Teoría de grafosDifícil
116585141015ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · El ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas

Por qué esta es la respuesta

Para n pequeño, el bucle sencillo del ordenamiento por inserción supera la sobrecarga de la recursión de quicksort o merge sort, aunque sea O(n²).

Respuesta

B · El ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Θ(n log² n)

Por qué esta es la respuesta

El nivel k hace un trabajo de unos n log(n / 2ᵏ), y sumar sobre los log n niveles da Θ(n log² n), el segundo caso ampliado del teorema maestro.

Respuesta

B · Θ(n log² n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Una lista doblemente enlazada

Por qué esta es la respuesta

Un nodo doblemente enlazado conoce a su predecesor, así que se pueden reenlazar directamente el anterior y el siguiente; en una lista simplemente enlazada hay que buscar el predecesor.

Respuesta

A · Una lista doblemente enlazada
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Ordena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable

Por qué esta es la respuesta

Heapsort construye un max-heap y extrae el máximo n veces dentro del mismo arreglo; los intercambios a larga distancia pueden reordenar claves iguales.

Respuesta

A · Ordena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 4

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

14 − 1 = 13

Aristas que quitar

k = 17 − 13 = 4

Respuesta

k = 4
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 21

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 11, C: 6
C (6): E: 11
B (11): D: 19, G: 12
E (11): F: 21
G (12): D: 17
D (17)
F (21)

Camino más corto

A → C → E → F
d(F) = 21

Respuesta

d(F) = 21

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