Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué significa que un problema tenga subestructura óptima?

  1. AEl problema tiene exactamente una solución óptima, que comparten todos sus subproblemas
  2. BUna solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
  3. CTodos los subproblemas tienen el mismo tamaño
  4. DEl problema puede resolverse en tiempo constante
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué técnica proporciona a quicksort un tiempo de ejecución esperado de O(n log n) para cualquier entrada?

  1. AElegir el pivote de forma uniformemente aleatoria
  2. BUsar recursión solo en el lado izquierdo
  3. CElegir siempre el primer elemento
  4. DOrdenar la entrada antes de ejecutar quicksort
3.Estructuras de datosMedia

Un recorrido en orden (in-order) de un árbol binario de búsqueda visita las claves en:

  1. ASiempre orden descendente
  2. BOrden por niveles
  3. COrden de inserción
  4. DOrden ascendente
4.Estructuras de datosDifícil

Bajo el supuesto de hashing uniforme simple, ¿cuál es el tiempo esperado de una búsqueda en una tabla hash con encadenamiento, n claves y m cubetas?

  1. AO(m)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1 + α), donde α = n / m
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos de longitud 2 van de F a C? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas

Por qué esta es la respuesta

La subestructura óptima es necesaria para que tanto los algoritmos voraces como la programación dinámica den respuestas correctas.

Respuesta

B · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Elegir el pivote de forma uniformemente aleatoria

Por qué esta es la respuesta

Con un pivote aleatorio, el tiempo esperado es O(n log n) para cualquier entrada; los casos malos siguen existiendo, pero son muy improbables.

Respuesta

A · Elegir el pivote de forma uniformemente aleatoria
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Orden ascendente

Por qué esta es la respuesta

Visitar el subárbol izquierdo, luego el nodo y luego el subárbol derecho produce las claves del BST ordenadas.

Respuesta

D · Orden ascendente
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · O(1 + α), donde α = n / m

Por qué esta es la respuesta

Calcular el hash cuesta O(1) y la longitud esperada de la cadena es α, así que mantener α acotado mediante redimensionamientos da un tiempo esperado O(1).

Respuesta

D · O(1 + α), donde α = n / m
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Vértices impares

A, B, E, G → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 1

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)FC = 0·1 + 0·1 + 0·0 + 1·0 + 1·1 + 0·0 = 1

Respuesta

N = 1

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