Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Una función ejecuta un bucle de n iteraciones y después, por separado, otro bucle de n iteraciones. ¿Cuál es su complejidad temporal?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la complejidad temporal de: para i = 1 hasta n: para (j = i; j ≤ n; j = j + i) hacer trabajo O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n √n)
3.Estructuras de datosMedia

Un nodo de un árbol binario de búsqueda tiene subárbol derecho. ¿Dónde está su sucesor en orden?

  1. ASiempre en su hijo derecho
  2. BSiempre en su padre
  3. CEn el nodo situado más a la izquierda de su subárbol derecho
  4. DEn el nodo situado más a la derecha de su subárbol izquierdo
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué las bases de datos suelen usar árboles B+ en lugar de árboles B simples para los índices?

  1. ALos árboles B+ almacenan los datos solo en la raíz
  2. BLos árboles B+ no necesitan estar balanceados
  3. CLos árboles B+ usan nodos internos binarios, lo que reduce el número de lecturas de disco
  4. DTodos los registros están en hojas enlazadas, lo que hace eficientes los recorridos por rangos
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
54111719982ABCDEF

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n)

Por qué esta es la respuesta

n + n = 2n, y los factores constantes se eliminan, así que la función es O(n).

Respuesta

B · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(n log n)

Por qué esta es la respuesta

El total es n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, y el número armónico Hn es Θ(log n).

Respuesta

C · O(n log n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · En el nodo situado más a la izquierda de su subárbol derecho

Por qué esta es la respuesta

Todas las claves mayores cercanas al nodo están en su subárbol derecho, y la menor de ellas es el nodo situado más a la izquierda de ese subárbol.

Respuesta

C · En el nodo situado más a la izquierda de su subárbol derecho
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Todos los registros están en hojas enlazadas, lo que hace eficientes los recorridos por rangos

Por qué esta es la respuesta

En un árbol B+ los nodos internos solo guían la búsqueda y las hojas están enlazadas en orden de clave, así que una consulta por rango encuentra la primera clave y luego avanza por las hojas.

Respuesta

D · Todos los registros están en hojas enlazadas, lo que hace eficientes los recorridos por rangos
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 1, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Vértices impares

A, D, E, G → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 36

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

EF (2): tomar
AC (4): tomar
AB (5): tomar
DF (8): tomar
DE (9): descartar, cierra un ciclo
BC (11): descartar, cierra un ciclo
BD (17): tomar

Peso total

W = 2 + 4 + 5 + 8 + 17 = 36

Respuesta

W = 36

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