Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árbol y bosque: |E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en K_n: (n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L: (Mᴸ)_ij

Método

Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué mide el análisis amortizado?

AEl coste de la única operación más cara de toda la secuencia
BEl coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso
CEl coste de un algoritmo con la mejor entrada
DEl coste esperado con entradas aleatorias

2.Algoritmos y complejidadDifícil

El algoritmo de Strassen multiplica matrices usando 7 multiplicaciones recursivas de bloques de la mitad de tamaño en lugar de 8. ¿Cuál es su tiempo de ejecución?

AΘ(n²)
BΘ(n^{log₂ 7}), aproximadamente n^2,81
CΘ(n² log n)
DΘ(n³)

3.Estructuras de datosMedia

¿Qué tipo abstracto de datos usa el algoritmo de Dijkstra para elegir el siguiente vértice que procesar?

AUna cola de prioridad de mínimos
BUna pila
CUna cola FIFO
DUn conjunto sin orden

4.Estructuras de datosDifícil

La estructura union-find (conjuntos disjuntos) con unión por rango y compresión de caminos tiene un coste amortizado por operación de:

AExactamente O(log n)
BO(α(n)), la inversa de la función de Ackermann, que en la práctica es constante
CO(n)
DO(n²)

5.Teoría de grafosMedia

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 5

1Circuito euleriano
2Camino euleriano, sin circuito
3ninguna de las dos

6.Teoría de grafosDifícil

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F

d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · El coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso

Por qué esta es la respuesta

El análisis amortizado reparte el coste de las operaciones caras y poco frecuentes entre muchas baratas, lo que da una media garantizada para cualquier secuencia.

Respuesta

B · El coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso

2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Θ(n^{log₂ 7}), aproximadamente n^2,81

Por qué esta es la respuesta

Con a = 7 y b = 2, n^{log₂ 7} domina al trabajo de sumas O(n²), lo que da aproximadamente n^2,81.

Respuesta

B · Θ(n^{log₂ 7}), aproximadamente n^2,81

3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Una cola de prioridad de mínimos

Por qué esta es la respuesta

Una cola de prioridad de mínimos, normalmente un montículo binario, devuelve de forma eficiente el vértice no visitado con la menor distancia.

Respuesta

A · Una cola de prioridad de mínimos

4.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(α(n)), la inversa de la función de Ackermann, que en la práctica es constante

Por qué esta es la respuesta

Con ambas optimizaciones, las operaciones tardan O(α(n)) en tiempo amortizado; α(n) ≤ 4 para cualquier n realista.

Respuesta

B · O(α(n)), la inversa de la función de Ackermann, que en la práctica es constante

5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; K_n tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Vértices impares

A, C, D, E → 4

ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 15

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 4, C: 14

B (4): D: 14, G: 6

G (6): D: 8, E: 20

D (8): F: 15

C (14): E: 15

E (15)

F (15)

Camino más corto

A → B → G → D → F

d(F) = 15

Respuesta

d(F) = 15

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