Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la complejidad temporal de construir un montículo binario a partir de n elementos sin ordenar con el método ascendente (bottom-up)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué ocurre cuando una tabla hash hace un rehash porque su factor de carga supera un umbral?

  1. ALas claves existentes se ordenan en su sitio
  2. BSe reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave
  3. CSe eliminan las claves más antiguas para hacer sitio
  4. DSolo las claves que colisionan se mueven a una lista de desbordamiento nueva al final de la tabla
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué hace un splay tree después de cada acceso?

  1. AMueve el nodo accedido a una hoja
  2. BReconstruye todo el árbol en forma balanceada
  3. CRecolorea los nodos del camino de búsqueda
  4. DSube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
1214109913126ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Hay n niveles con trabajo constante cada uno, como en la suma recursiva de un array.

Respuesta

D · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Sumar los costes de hundimiento (sift-down) en todos los niveles da una serie convergente, así que heapify se ejecuta en tiempo lineal.

Respuesta

B · O(n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Se reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave

Por qué esta es la respuesta

Como el índice se calcula módulo el tamaño de la tabla, todas las claves deben redistribuirse en la tabla nueva y mayor; duplicando el tamaño, esto sigue siendo O(1) amortizado.

Respuesta

B · Se reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Sube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz

Por qué esta es la respuesta

El splaying lleva el nodo accedido a la raíz mediante rotaciones; una sola operación puede costar O(n), pero el coste amortizado es O(log n).

Respuesta

D · Sube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 30

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 12
B (12): C: 26, D: 22, E: 18
E (18): F: 30
D (22)
C (26)
F (30)

Camino más corto

A → B → E → F
d(F) = 30

Respuesta

d(F) = 30

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