Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de quicksort en el peor caso?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cómo se comparan n! y 2ⁿ para n grande?

  1. An! es O(n²)
  2. B2ⁿ crece más deprisa que n!
  3. CCrecen al mismo ritmo
  4. Dn! crece más deprisa que 2ⁿ
3.Estructuras de datosMedia

¿Para qué sirve un nodo centinela (ficticio) en una lista enlazada?

  1. APara almacenar el número de elementos
  2. BPara simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
  3. CPara mantener la lista ordenada
  4. DPara impedir que la lista crezca más allá de un número máximo fijo de nodos
4.Estructuras de datosDifícil

Eliminar un nodo con dos hijos de un árbol binario de búsqueda se hace normalmente:

  1. AReemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo
  2. BReconstruyendo desde cero el subárbol que hay debajo y reinsertando todas las claves que contenía
  3. CEliminando todo el subárbol
  4. DIntercambiándolo con la raíz
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
6186102341014ABCDEFG

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 5; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(n²)

Por qué esta es la respuesta

Con pivotes malos de forma sistemática (p. ej., una entrada ya ordenada y el primer elemento como pivote) las particiones quedan desequilibradas, lo que da O(n²). El caso promedio es O(n log n).

Respuesta

C · O(n²)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · n! crece más deprisa que 2ⁿ

Por qué esta es la respuesta

Para n ≥ 4, n! supera a 2ⁿ, y el cociente crece sin límite porque cada factor adicional de n! es mayor que 2.

Respuesta

D · n! crece más deprisa que 2ⁿ
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola

Por qué esta es la respuesta

Con un centinela, todo nodo real tiene un predecesor, así que insertar o eliminar en la cabeza no requiere ningún tratamiento especial.

Respuesta

B · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Reemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo

Por qué esta es la respuesta

El sucesor en orden tiene como máximo un hijo, por lo que puede eliminarse fácilmente después de copiar su clave en el nodo que se va a eliminar.

Respuesta

A · Reemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vértices impares

C, D → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: E

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 6, C: 1
2. C (1): E: 7, G: 5
3. G (5): D: 15
4. B (6)
5. E (7): F: 10
6. F (10): D: 12
7. D (12)

ronda 5

E

Respuesta

E

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