Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Una función ejecuta un bucle de n iteraciones y después, por separado, otro bucle de n iteraciones. ¿Cuál es su complejidad temporal?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué estableció el teorema de Cook-Levin?

  1. AP no es igual a NP
  2. BEl problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
  3. CEl problema de la parada es indecidible
  4. DTodo problema NP puede resolverse en tiempo exponencial
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué método de resolución de colisiones almacena las claves que colisionan en una lista dentro de la misma cubeta?

  1. ADoble hash (double hashing)
  2. BSondeo cuadrático (quadratic probing)
  3. CSondeo lineal (linear probing)
  4. DEncadenamiento separado (separate chaining)
4.Estructuras de datosDifícil

Bajo el supuesto de hashing uniforme simple, ¿cuál es el tiempo esperado de una búsqueda en una tabla hash con encadenamiento, n claves y m cubetas?

  1. AO(log n)
  2. BO(m)
  3. CO(n)
  4. DO(1 + α), donde α = n / m
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K5? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K5
H =
6.Teoría de grafosDifícil
111261914532013ABCDEFG

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice B. Haz clic en la arista que añade como arista número 4.

inicio: Bk = 4
  1. 1arista AB
  2. 2arista BC
  3. 3arista BD
  4. 4arista DE
  5. 5arista DF
  6. 6arista EF
  7. 7arista GC
  8. 8arista GD
  9. 9arista GE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(n)

Por qué esta es la respuesta

n + n = 2n, y los factores constantes se eliminan, así que la función es O(n).

Respuesta

A · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo

Por qué esta es la respuesta

Cook y Levin demostraron de forma independiente que todo problema de NP se reduce a SAT en tiempo polinómico, así que SAT fue el primer problema NP-completo conocido.

Respuesta

B · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Encadenamiento separado (separate chaining)

Por qué esta es la respuesta

El encadenamiento mantiene una lista enlazada (u otra estructura) por cubeta; el direccionamiento abierto busca otra posición libre dentro de la propia tabla.

Respuesta

D · Encadenamiento separado (separate chaining)
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · O(1 + α), donde α = n / m

Por qué esta es la respuesta

Calcular el hash cuesta O(1) y la longitud esperada de la cadena es α, así que mantener α acotado mediante redimensionamientos da un tiempo esperado O(1).

Respuesta

D · O(1 + α), donde α = n / m
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 12

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Respuesta

H = 12
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista GC

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. BD (6)
2. AB (11)
3. BC (12)
4. GC (3)
5. GE (13)
6. EF (5)

arista número 4

GC

Respuesta

arista GC

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