Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de: para i = 1 hasta n: (j = 1; mientras j < n: j = j × 2)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Un problema es NP-completo si:

  1. AEs imposible de resolver
  2. BEstá en NP y todo problema NP se reduce a él en tiempo polinómico
  3. CSe puede resolver en tiempo polinómico
  4. DEstá fuera de NP pero es más difícil que todos los problemas NP, como el problema de la parada
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué método de resolución de colisiones almacena las claves que colisionan en una lista dentro de la misma cubeta?

  1. AEncadenamiento separado (separate chaining)
  2. BSondeo cuadrático (quadratic probing)
  3. CDoble hash (double hashing)
  4. DSondeo lineal (linear probing)
4.Estructuras de datosDifícil

Eliminar un nodo con dos hijos de un árbol binario de búsqueda se hace normalmente:

  1. AEliminando todo el subárbol
  2. BReconstruyendo desde cero el subárbol que hay debajo y reinsertando todas las claves que contenía
  3. CIntercambiándolo con la raíz
  4. DReemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 3, 4 vértices de grado 4, 3 vértices de grado 5, 2 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 34 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 3 empiezan y terminan en D? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 3
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n log n)

Por qué esta es la respuesta

El bucle interior se ejecuta unas log₂ n veces por cada una de las n iteraciones exteriores, lo que da O(n log n).

Respuesta

B · O(n log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Está en NP y todo problema NP se reduce a él en tiempo polinómico

Por qué esta es la respuesta

Los problemas NP-completos son los más difíciles de NP; un algoritmo polinómico para uno de ellos daría uno para todo NP.

Respuesta

B · Está en NP y todo problema NP se reduce a él en tiempo polinómico
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Encadenamiento separado (separate chaining)

Por qué esta es la respuesta

El encadenamiento mantiene una lista enlazada (u otra estructura) por cubeta; el direccionamiento abierto busca otra posición libre dentro de la propia tabla.

Respuesta

A · Encadenamiento separado (separate chaining)
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Reemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo

Por qué esta es la respuesta

El sucesor en orden tiene como máximo un hijo, por lo que puede eliminarse fácilmente después de copiar su clave en el nodo que se va a eliminar.

Respuesta

D · Reemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 22

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 44 = 2(L + 12) − 2
L = 22

Respuesta

L = 22

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Un paso más

(M³)DD = 1·0 + 1·1 + 2·0 + 2·0 + 1·1 = 2

Respuesta

N = 2

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