Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Por qué la programación dinámica no aporta ninguna mejora real a merge sort?

  1. ASus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar
  2. BMerge sort ya es O(n)
  3. CLa programación dinámica solo funciona con problemas de grafos, no con arreglos
  4. DMerge sort no tiene estructura recursiva
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué la búsqueda binaria no da un tiempo O(log n) en una lista simplemente enlazada?

  1. ALas listas enlazadas no pueden ordenarse
  2. BLa búsqueda binaria necesita al menos el doble de memoria
  3. CLlegar al elemento central lleva O(n) pasos, porque no hay acceso directo por índice
  4. DLas comparaciones entre nodos de una lista enlazada son más lentas
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué tipo abstracto de datos usa el algoritmo de Dijkstra para elegir el siguiente vértice que procesar?

  1. AUna cola FIFO
  2. BUna pila
  3. CUn conjunto sin orden
  4. DUna cola de prioridad de mínimos
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cómo se puede detectar si una lista simplemente enlazada contiene un ciclo usando O(1) de memoria adicional?

  1. AGuardar cada nodo visitado en un conjunto hash
  2. BMover un puntero de uno en uno y otro de dos en dos y comprobar si se encuentran
  3. COrdenar la lista y buscar duplicados
  4. DContar los nodos hasta que la cuenta supere el campo de longitud de la lista
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
6161482201317ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Sus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar

Por qué esta es la respuesta

Las mitades de merge sort son disjuntas y cada una se resuelve una sola vez; la PD solo ayuda cuando los subproblemas se repiten, como en Fibonacci.

Respuesta

A · Sus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Llegar al elemento central lleva O(n) pasos, porque no hay acceso directo por índice

Por qué esta es la respuesta

La búsqueda binaria necesita acceso O(1) al elemento central; en una lista enlazada, llegar hasta él cuesta tiempo lineal, así que el total es O(n).

Respuesta

C · Llegar al elemento central lleva O(n) pasos, porque no hay acceso directo por índice
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una cola de prioridad de mínimos

Por qué esta es la respuesta

Una cola de prioridad de mínimos, normalmente un montículo binario, devuelve de forma eficiente el vértice no visitado con la menor distancia.

Respuesta

D · Una cola de prioridad de mínimos
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Mover un puntero de uno en uno y otro de dos en dos y comprobar si se encuentran

Por qué esta es la respuesta

En el algoritmo de Floyd, si hay un ciclo, el puntero rápido acaba alcanzando al lento; si no, el puntero rápido llega a null.

Respuesta

B · Mover un puntero de uno en uno y otro de dos en dos y comprobar si se encuentran
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Vértices impares

C, D → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 42

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

CE (1): tomar
EF (2): tomar
DE (4): tomar
AB (6): tomar
DF (8): descartar, cierra un ciclo
GD (13): tomar
BC (16): tomar

Peso total

W = 1 + 2 + 4 + 6 + 13 + 16 = 42

Respuesta

W = 42

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