Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal del algoritmo estándar de programación dinámica para la subsecuencia común más larga de dos cadenas de longitudes m y n?

  1. AO(2m+n)
  2. BO(mn)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(m + n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué cualquier búsqueda basada en comparaciones en un array ordenado necesita Ω(log n) comparaciones en el peor caso?

  1. ALa búsqueda binaria es el único algoritmo posible, y necesita log₂ n comparaciones
  2. BCada elemento debe compararse al menos una vez
  3. CUn árbol de decisión con n resultados posibles debe tener una profundidad de al menos log₂ n
  4. DCada comparación tarda un tiempo logarítmico
3.Estructuras de datosMedia

¿Por qué un montículo binario puede almacenarse en un arreglo sin ningún puntero?

  1. ATodas las claves de un montículo son iguales
  2. BEs un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas
  3. CLos montículos nunca contienen más de 100 elementos
  4. DLos arreglos mantienen automáticamente las claves ordenadas, así que no hacen falta punteros
4.Estructuras de datosDifícil

Para que una tabla hash funcione correctamente, ¿qué regla deben cumplir el hash y la igualdad?

  1. ALas claves distintas deben tener valores hash distintos
  2. BLas claves iguales deben tener valores hash iguales
  3. CLos valores hash deben ser números primos
  4. DValores hash iguales implican claves iguales
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 4 vértices de grado 3, 3 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

4 × deg 33 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
108121241210ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 4; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(mn)

Por qué esta es la respuesta

La tabla tiene (m + 1)(n + 1) celdas y cada una se calcula en O(1) a partir de sus vecinas.

Respuesta

B · O(mn)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Un árbol de decisión con n resultados posibles debe tener una profundidad de al menos log₂ n

Por qué esta es la respuesta

Cada comparación reduce como mucho a la mitad el conjunto de posibilidades restantes, así que distinguir n posiciones necesita al menos log₂ n comparaciones.

Respuesta

C · Un árbol de decisión con n resultados posibles debe tener una profundidad de al menos log₂ n
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Es un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas

Por qué esta es la respuesta

Ser completo significa que no hay huecos, así que los hijos del índice i están siempre en 2i + 1 y 2i + 2.

Respuesta

B · Es un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Las claves iguales deben tener valores hash iguales

Por qué esta es la respuesta

Si dos claves iguales tuvieran hashes distintos, se almacenarían en cubetas distintas y las búsquedas fallarían; las claves distintas sí pueden compartir hash.

Respuesta

B · Las claves iguales deben tener valores hash iguales
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 6

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 18 = 2(L + 7) − 2
L = 6

Respuesta

L = 6

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: D

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 10, C: 8
2. C (8): B: 9
3. B (9): D: 11, E: 19
4. D (11): F: 15
5. F (15)
6. E (19)

ronda 4

D

Respuesta

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms