Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de multiplicar dos matrices n × n con el triple bucle estándar?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n² log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Tomar los dos extremos de cada arista de un emparejamiento maximal da un recubrimiento de vértices. ¿Cómo de bueno es este recubrimiento?

  1. ADe calidad desconocida respecto al óptimo
  2. BComo mucho log n veces el mínimo
  3. CSiempre es un recubrimiento de vértices mínimo
  4. DComo mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
3.Estructuras de datosMedia

Los árboles AVL y los árboles rojo-negro garantizan:

  1. AQue las claves se almacenen en orden de inserción
  2. BUna altura O(log n) mediante el rebalanceo
  3. CBúsqueda en tiempo constante en todos los casos
  4. DQue ningún nodo tenga dos hijos
4.Estructuras de datosDifícil

En el BST con raíz 50, subárbol izquierdo 30 (hijos 20, 40) y subárbol derecho 70 (hijos 60, 80), se elimina la raíz usando el sucesor en orden. ¿Qué clave pasa a ser la nueva raíz?

  1. A40
  2. B80
  3. C70
  4. D60
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 12 vértices y 23 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 12|E| = 23
k =
6.Teoría de grafosDifícil
20191194121618138ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(n³)

Por qué esta es la respuesta

Hay n² entradas y cada una necesita n multiplicaciones, lo que da n³ operaciones.

Respuesta

C · O(n³)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo

Por qué esta es la respuesta

Las aristas del emparejamiento no comparten vértices, así que el óptimo necesita al menos un vértice por arista, mientras que este método toma dos: una 2-aproximación.

Respuesta

D · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Una altura O(log n) mediante el rebalanceo

Por qué esta es la respuesta

Los árboles autobalanceados mantienen una altura logarítmica, así que la búsqueda, la inserción y la eliminación son O(log n) en el peor caso.

Respuesta

B · Una altura O(log n) mediante el rebalanceo
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · 60

Por qué esta es la respuesta

El nodo situado más a la izquierda del subárbol derecho es 60, así que 60 sustituye a 50 y se elimina su posición anterior; usar el predecesor daría 40.

Respuesta

D · 60
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 12

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

12 − 1 = 11

Aristas que quitar

k = 23 − 11 = 12

Respuesta

k = 12
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 63

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

DF (4): tomar
GE (8): tomar
CE (9): tomar
BC (11): tomar
EF (12): tomar
GD (13): descartar, cierra un ciclo
GB (16): descartar, cierra un ciclo
GC (18): descartar, cierra un ciclo
AC (19): tomar

Peso total

W = 4 + 8 + 9 + 11 + 12 + 19 = 63

Respuesta

W = 63

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