Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La cota inferior para la ordenación basada en comparaciones en el peor caso es:

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(n²)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Tomar los dos extremos de cada arista de un emparejamiento maximal da un recubrimiento de vértices. ¿Cómo de bueno es este recubrimiento?

  1. AComo mucho log n veces el mínimo
  2. BSiempre es un recubrimiento de vértices mínimo
  3. CDe calidad desconocida respecto al óptimo
  4. DComo mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué ocurre cuando una tabla hash hace un rehash porque su factor de carga supera un umbral?

  1. ASolo las claves que colisionan se mueven a una lista de desbordamiento nueva al final de la tabla
  2. BSe eliminan las claves más antiguas para hacer sitio
  3. CSe reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave
  4. DLas claves existentes se ordenan en su sitio
4.Estructuras de datosDifícil

Para cada elemento de un arreglo quieres el siguiente elemento mayor a su derecha, en un tiempo total O(n). ¿Qué estructura ayuda?

  1. AUn árbol binario de búsqueda reconstruido para cada elemento
  2. BUna cola que contiene todos los pares de elementos
  3. CUna tabla hash con todos los elementos
  4. DUna pila que guarda los elementos que esperan su respuesta
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
15131111515556ABCDEFG

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 5; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Ω(n log n)

Por qué esta es la respuesta

Cualquier ordenación por comparaciones necesita al menos log₂(n!) ≈ n log n comparaciones en el peor caso. El ordenamiento por conteo (counting sort) la supera porque no compara.

Respuesta

C · Ω(n log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo

Por qué esta es la respuesta

Las aristas del emparejamiento no comparten vértices, así que el óptimo necesita al menos un vértice por arista, mientras que este método toma dos: una 2-aproximación.

Respuesta

D · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Se reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave

Por qué esta es la respuesta

Como el índice se calcula módulo el tamaño de la tabla, todas las claves deben redistribuirse en la tabla nueva y mayor; duplicando el tamaño, esto sigue siendo O(1) amortizado.

Respuesta

C · Se reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una pila que guarda los elementos que esperan su respuesta

Por qué esta es la respuesta

Recorriendo de izquierda a derecha, se desapila cada elemento de la pila menor que el actual (el actual es su respuesta) y luego se apila este; cada elemento se mueve como máximo dos veces.

Respuesta

D · Una pila que guarda los elementos que esperan su respuesta
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 1, deg(F) = 1

Vértices impares

B, D, E, F → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: D

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 1, C: 5
2. B (1): C: 2, G: 16
3. C (2): E: 5, G: 7
4. E (5): D: 6, F: 20
5. D (6): F: 17
6. G (7)
7. F (17)

ronda 5

D

Respuesta

D

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