Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué calcula el algoritmo de Floyd-Warshall y con qué rapidez?

  1. AUn orden topológico en O(V²)
  2. BLos caminos más cortos entre todos los pares de vértices en O(V³)
  3. CUn árbol de expansión mínima en O(E log V)
  4. DLos caminos más cortos desde un vértice origen hasta todos los demás en O(V + E)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es el tiempo de ejecución del algoritmo de Dijkstra con un montículo binario en un grafo con V vértices y E aristas?

  1. AO(V + E)
  2. BO((V + E) log V)
  3. CO(V³)
  4. DO(V × E)
3.Estructuras de datosMedia

¿Por qué un montículo binario puede almacenarse en un arreglo sin ningún puntero?

  1. ATodas las claves de un montículo son iguales
  2. BEs un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas
  3. CLos montículos nunca contienen más de 100 elementos
  4. DLos arreglos mantienen automáticamente las claves ordenadas, así que no hacen falta punteros
4.Estructuras de datosDifícil

Para que una tabla hash funcione correctamente, ¿qué regla deben cumplir el hash y la igualdad?

  1. ALas claves iguales deben tener valores hash iguales
  2. BLas claves distintas deben tener valores hash distintos
  3. CLos valores hash deben ser números primos
  4. DValores hash iguales implican claves iguales
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 10 vértices y 14 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 10|E| = 14
k =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 2 empiezan y terminan en A? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Los caminos más cortos entre todos los pares de vértices en O(V³)

Por qué esta es la respuesta

Floyd-Warshall es un algoritmo de programación dinámica que permite por turnos que cada vértice sea punto intermedio, con un tiempo O(V³).

Respuesta

B · Los caminos más cortos entre todos los pares de vértices en O(V³)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O((V + E) log V)

Por qué esta es la respuesta

Hay V operaciones extract-min y hasta E operaciones decrease-key, cada una O(log V); un montículo de Fibonacci lo mejora a O(E + V log V).

Respuesta

B · O((V + E) log V)
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Es un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas

Por qué esta es la respuesta

Ser completo significa que no hay huecos, así que los hijos del índice i están siempre en 2i + 1 y 2i + 2.

Respuesta

B · Es un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Las claves iguales deben tener valores hash iguales

Por qué esta es la respuesta

Si dos claves iguales tuvieran hashes distintos, se almacenarían en cubetas distintas y las búsquedas fallarían; las claves distintas sí pueden compartir hash.

Respuesta

A · Las claves iguales deben tener valores hash iguales
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 5

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

10 − 1 = 9

Aristas que quitar

k = 14 − 9 = 5

Respuesta

k = 5
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

Respuesta

N = 2

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