Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuánto espacio de pila usa una función factorial recursiva sencilla fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Está 22n en O(2ⁿ)?

  1. ANo, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite
  2. BSí, porque los factores constantes del exponente se ignoran siempre en la notación O grande
  3. CSí, porque ambos son exponenciales
  4. DNo, porque 22n crece más despacio que 2ⁿ
3.Estructuras de datosMedia

Un nodo de un árbol binario de búsqueda tiene subárbol derecho. ¿Dónde está su sucesor en orden?

  1. AEn el nodo situado más a la izquierda de su subárbol derecho
  2. BSiempre en su padre
  3. CSiempre en su hijo derecho
  4. DEn el nodo situado más a la derecha de su subárbol izquierdo
4.Estructuras de datosDifícil

Para que una tabla hash funcione correctamente, ¿qué regla deben cumplir el hash y la igualdad?

  1. ALos valores hash deben ser números primos
  2. BLas claves distintas deben tener valores hash distintos
  3. CValores hash iguales implican claves iguales
  4. DLas claves iguales deben tener valores hash iguales
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 4 vértices de grado 5, 3 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

4 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
11155251126310ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(n)

Por qué esta es la respuesta

La recursión alcanza n llamadas de profundidad antes de que ninguna termine, y cada llamada necesita un marco de pila, así que usa O(n) espacio.

Respuesta

A · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · No, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite

Por qué esta es la respuesta

Una constante sumada al exponente da un factor constante, pero una constante que multiplica al exponente cambia la base y el ritmo de crecimiento.

Respuesta

A · No, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · En el nodo situado más a la izquierda de su subárbol derecho

Por qué esta es la respuesta

Todas las claves mayores cercanas al nodo están en su subárbol derecho, y la menor de ellas es el nodo situado más a la izquierda de ese subárbol.

Respuesta

A · En el nodo situado más a la izquierda de su subárbol derecho
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Las claves iguales deben tener valores hash iguales

Por qué esta es la respuesta

Si dos claves iguales tuvieran hashes distintos, se almacenarían en cubetas distintas y las búsquedas fallarían; las claves distintas sí pueden compartir hash.

Respuesta

D · Las claves iguales deben tener valores hash iguales
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 14

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 26 = 2(L + 7) − 2
L = 14

Respuesta

L = 14

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 24

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): C: 11
C (11): B: 26, E: 13, G: 17
E (13): D: 18, F: 24
G (17): B: 19
D (18)
B (19)
F (24)

Camino más corto

A → C → E → F
d(F) = 24

Respuesta

d(F) = 24

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