Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de quicksort en el peor caso?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué la búsqueda media en una tabla hash es O(1) pero el peor caso es O(n)?

  1. AMuchas claves pueden colisionar en el mismo bucket
  2. BLas funciones hash son lentas
  3. CLos arrays tienen acceso O(n)
  4. DLas claves deben ordenarse primero
3.Estructuras de datosMedia

Un trie (árbol de prefijos) es especialmente eficiente para:

  1. ABúsquedas por prefijo, como el autocompletado
  2. BEncontrar caminos más cortos
  3. COrdenar números
  4. DAlmacenar matrices
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué hace un splay tree después de cada acceso?

  1. ARecolorea los nodos del camino de búsqueda
  2. BReconstruye todo el árbol en forma balanceada
  3. CSube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz
  4. DMueve el nodo accedido a una hoja
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K8? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K8
H =
6.Teoría de grafosDifícil
512519313154ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(n²)

Por qué esta es la respuesta

Con pivotes malos de forma sistemática (p. ej., una entrada ya ordenada y el primer elemento como pivote) las particiones quedan desequilibradas, lo que da O(n²). El caso promedio es O(n log n).

Respuesta

C · O(n²)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Muchas claves pueden colisionar en el mismo bucket

Por qué esta es la respuesta

Con una buena función hash y un factor de carga adecuado, los buckets se mantienen cortos en promedio; un hashing malicioso o deficiente puede poner todas las claves en un mismo bucket.

Respuesta

A · Muchas claves pueden colisionar en el mismo bucket
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Búsquedas por prefijo, como el autocompletado

Por qué esta es la respuesta

Los tries almacenan cadenas carácter a carácter a lo largo de caminos, así que las búsquedas y consultas por prefijo tardan un tiempo proporcional a la longitud de la clave.

Respuesta

A · Búsquedas por prefijo, como el autocompletado
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Sube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz

Por qué esta es la respuesta

El splaying lleva el nodo accedido a la raíz mediante rotaciones; una sola operación puede costar O(n), pero el coste amortizado es O(log n).

Respuesta

C · Sube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 2520

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Respuesta

H = 2520
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 23

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 5, C: 12
B (5): C: 10, G: 18
C (10): E: 11
E (11): D: 20, G: 15
G (15)
D (20): F: 23
F (23)

Camino más corto

A → B → C → E → D → F
d(F) = 23

Respuesta

d(F) = 23

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