Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Por qué la programación dinámica no aporta ninguna mejora real a merge sort?

  1. AMerge sort ya es O(n)
  2. BSus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar
  3. CLa programación dinámica solo funciona con problemas de grafos, no con arreglos
  4. DMerge sort no tiene estructura recursiva
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cómo detecta el algoritmo de Bellman-Ford un ciclo de peso negativo alcanzable desde el origen?

  1. AComprueba si alguna arista tiene peso negativo
  2. BEjecuta dos veces el algoritmo de Dijkstra y compara los dos resultados de distancias
  3. CTras V − 1 rondas, comprueba si alguna arista todavía puede relajarse
  4. DCuenta los ciclos con una búsqueda en profundidad
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué ocurre cuando una tabla hash hace un rehash porque su factor de carga supera un umbral?

  1. ASe eliminan las claves más antiguas para hacer sitio
  2. BSe reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave
  3. CLas claves existentes se ordenan en su sitio
  4. DSolo las claves que colisionan se mueven a una lista de desbordamiento nueva al final de la tabla
4.Estructuras de datosDifícil

En el BST con raíz 50, subárbol izquierdo 30 (hijos 20, 40) y subárbol derecho 70 (hijos 60, 80), se elimina la raíz usando el sucesor en orden. ¿Qué clave pasa a ser la nueva raíz?

  1. A80
  2. B70
  3. C60
  4. D40
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
23156714134ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Sus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar

Por qué esta es la respuesta

Las mitades de merge sort son disjuntas y cada una se resuelve una sola vez; la PD solo ayuda cuando los subproblemas se repiten, como en Fibonacci.

Respuesta

B · Sus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Tras V − 1 rondas, comprueba si alguna arista todavía puede relajarse

Por qué esta es la respuesta

Todas las distancias mínimas reales se hallan en V − 1 rondas; si una arista todavía puede mejorarse, debe existir un ciclo negativo.

Respuesta

C · Tras V − 1 rondas, comprueba si alguna arista todavía puede relajarse
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Se reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave

Por qué esta es la respuesta

Como el índice se calcula módulo el tamaño de la tabla, todas las claves deben redistribuirse en la tabla nueva y mayor; duplicando el tamaño, esto sigue siendo O(1) amortizado.

Respuesta

B · Se reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · 60

Por qué esta es la respuesta

El nodo situado más a la izquierda del subárbol derecho es 60, así que 60 sustituye a 50 y se elimina su posición anterior; usar el predecesor daría 40.

Respuesta

C · 60
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 21

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 2, C: 3
B (2): D: 8, E: 6
C (3)
E (6)
D (8): F: 21
F (21)

Camino más corto

A → B → D → F
d(F) = 21

Respuesta

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms