Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué significa que un problema tenga subestructura óptima?

  1. AEl problema tiene exactamente una solución óptima, que comparten todos sus subproblemas
  2. BEl problema puede resolverse en tiempo constante
  3. CUna solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
  4. DTodos los subproblemas tienen el mismo tamaño
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Un problema es NP-completo si:

  1. AEstá en NP y todo problema NP se reduce a él en tiempo polinómico
  2. BSe puede resolver en tiempo polinómico
  3. CEs imposible de resolver
  4. DEstá fuera de NP pero es más difícil que todos los problemas NP, como el problema de la parada
3.Estructuras de datosMedia

¿Por qué recorrer un arreglo suele ser en la práctica mucho más rápido que recorrer una lista enlazada de la misma longitud?

  1. ARecorrer un arreglo es O(1) en total, mientras que recorrer una lista enlazada es O(n)
  2. BLas listas enlazadas siempre almacenan los elementos en disco
  3. CLos elementos del arreglo son contiguos, así que aprovechan bien la caché de la CPU
  4. DLos arreglos usan menos instrucciones para comparar valores
4.Estructuras de datosDifícil

En una tabla hash con direccionamiento abierto, ¿por qué la eliminación suele hacerse con un marcador «lápida» (tombstone)?

  1. AVaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves
  2. BLas lápidas aceleran el hashing
  3. CHace que la tabla quede ordenada
  4. DLas claves eliminadas deben conservarse para siempre por seguridad, así que las posiciones nunca pueden reutilizarse
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
154596114111243ABCDEFG

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 4; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas

Por qué esta es la respuesta

La subestructura óptima es necesaria para que tanto los algoritmos voraces como la programación dinámica den respuestas correctas.

Respuesta

C · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Está en NP y todo problema NP se reduce a él en tiempo polinómico

Por qué esta es la respuesta

Los problemas NP-completos son los más difíciles de NP; un algoritmo polinómico para uno de ellos daría uno para todo NP.

Respuesta

A · Está en NP y todo problema NP se reduce a él en tiempo polinómico
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Los elementos del arreglo son contiguos, así que aprovechan bien la caché de la CPU

Por qué esta es la respuesta

La memoria contigua ofrece una buena localidad de referencia, mientras que los nodos enlazados pueden estar dispersos y provocar muchos fallos de caché.

Respuesta

C · Los elementos del arreglo son contiguos, así que aprovechan bien la caché de la CPU
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Vaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves

Por qué esta es la respuesta

Si una posición eliminada quedara vacía, las búsquedas posteriores podrían detenerse antes de tiempo y no encontrar claves colocadas más adelante en la cadena de sondeo.

Respuesta

A · Vaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Vértices impares

A, B, C, D, F, G → 6
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: E

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 15, C: 4
2. C (4): B: 9, E: 13, G: 16
3. B (9)
4. E (13): D: 19, F: 17
5. G (16)
6. F (17)
7. D (19)

ronda 4

E

Respuesta

E

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