Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Por qué muchas rutinas de ordenación de las bibliotecas cambian al ordenamiento por inserción para subarrays muy pequeños?

  1. AEl ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas
  2. BEl ordenamiento por inserción es O(n log n) en el peor caso
  3. CEl ordenamiento por inserción usa menos memoria que cualquier otro algoritmo de ordenamiento con entradas grandes
  4. DLos algoritmos recursivos no pueden tratar arrays de menos de 10 elementos
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué cota es correcta para log(n!)?

  1. AΘ(log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Estructuras de datosMedia

En un montículo binario almacenado en un arreglo que empieza en el índice 0, ¿dónde está el padre del nodo del índice i?

  1. AEn el índice i − 1
  2. BEn el índice ⌊(i − 1) / 2⌋
  3. CEn el índice 2i + 1
  4. DEn el índice ⌊i / 2⌋ + 1
4.Estructuras de datosDifícil

Las claves 5, 3, 8, 1 se insertan en este orden en un min-heap binario vacío basado en un arreglo. ¿Cuál es el arreglo final?

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[1, 5, 8, 3]
  4. D[1, 3, 5, 8]
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 4, 4 vértices de grado 5, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 44 × deg 5
L =
6.Teoría de grafosDifícil
18391917181116ABCDEF

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice E. Haz clic en la arista que añade como arista número 2.

inicio: Ek = 2
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista DF
  8. 8arista EF
  9. 9arista BE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · El ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas

Por qué esta es la respuesta

Para n pequeño, el bucle sencillo del ordenamiento por inserción supera la sobrecarga de la recursión de quicksort o merge sort, aunque sea O(n²).

Respuesta

A · El ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Θ(n log n)

Por qué esta es la respuesta

log(n!) ≤ n log n, y los n / 2 factores mayores dan log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); por eso la ordenación por comparaciones necesita Ω(n log n).

Respuesta

C · Θ(n log n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · En el índice ⌊(i − 1) / 2⌋

Por qué esta es la respuesta

Los hijos de i están en 2i + 1 y 2i + 2, así que el padre de i está en ⌊(i − 1) / 2⌋; con índices desde 1 es ⌊i / 2⌋.

Respuesta

B · En el índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · [1, 3, 8, 5]

Por qué esta es la respuesta

Tras 5, 3, 8 el arreglo es [3, 5, 8]; 1 va al índice 3, se intercambia con su padre 5 y luego con 3, lo que da [1, 3, 8, 5].

Respuesta

B · [1, 3, 8, 5]
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 20

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 32 = 2(L + 7) − 2
L = 20

Respuesta

L = 20

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: arista DF

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. DE (1)
2. DF (8)
3. BE (16)
4. BC (9)
5. AC (3)

arista número 2

DF

Respuesta

arista DF

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