Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Es correcto decir que un algoritmo O(n²) también es O(n³)?

  1. ASí, pero solo si n es menor que 100
  2. BSí, porque O grande es una cota superior y n² no crece más deprisa que n³
  3. CNo, porque n³ es menor que n² para n grande
  4. DNo, porque O grande debe dar siempre el ritmo de crecimiento exacto de la función
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué se deduciría si alguien hallara un algoritmo de tiempo polinómico para un problema NP-completo?

  1. ATodo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP
  2. BSolo ese problema pasaría a P
  3. CTodos los algoritmos de tiempo exponencial pasarían de inmediato a ejecutarse en tiempo lineal
  4. DEl problema de la parada se volvería decidible
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué tipo abstracto de datos usa el algoritmo de Dijkstra para elegir el siguiente vértice que procesar?

  1. AUn conjunto sin orden
  2. BUna cola de prioridad de mínimos
  3. CUna pila
  4. DUna cola FIFO
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué se usan los árboles B en bases de datos y sistemas de archivos?

  1. ASu alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco
  2. BNo necesitan rebalanceo
  3. CUsan menos memoria que cualquier arreglo, así que todo el índice cabe siempre en la memoria principal
  4. DAlmacenan los datos sin ordenar
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
812314137134ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Sí, porque O grande es una cota superior y n² no crece más deprisa que n³

Por qué esta es la respuesta

O grande es una cota superior, así que la afirmación es cierta pero no ajustada; Θ(n²) indica el ritmo de crecimiento exacto.

Respuesta

B · Sí, porque O grande es una cota superior y n² no crece más deprisa que n³
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Todo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP

Por qué esta es la respuesta

Como todo NP se reduce en tiempo polinómico a cualquier problema NP-completo, un algoritmo rápido para uno da un algoritmo rápido para todos.

Respuesta

A · Todo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Una cola de prioridad de mínimos

Por qué esta es la respuesta

Una cola de prioridad de mínimos, normalmente un montículo binario, devuelve de forma eficiente el vértice no visitado con la menor distancia.

Respuesta

B · Una cola de prioridad de mínimos
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Su alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco

Por qué esta es la respuesta

Los árboles B almacenan muchas claves por nodo, así que la altura es pequeña y se necesitan pocas lecturas de bloques por búsqueda; los árboles B+ además enlazan las hojas para recorridos por rangos.

Respuesta

A · Su alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 30

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): C: 8
C (8): B: 20, E: 22
B (20): D: 23
E (22): F: 35
D (23): F: 30
F (30)

Camino más corto

A → C → B → D → F
d(F) = 30

Respuesta

d(F) = 30

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