Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Un quicksort usa siempre el primer elemento como pivote. ¿Con qué entrada muestra su comportamiento de peor caso?

  1. AUn array de longitud 2
  2. BUn array con todos sus elementos distintos
  3. CUn array en orden aleatorio
  4. DUn array que ya está ordenado
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cómo detecta el algoritmo de Bellman-Ford un ciclo de peso negativo alcanzable desde el origen?

  1. AEjecuta dos veces el algoritmo de Dijkstra y compara los dos resultados de distancias
  2. BComprueba si alguna arista tiene peso negativo
  3. CCuenta los ciclos con una búsqueda en profundidad
  4. DTras V − 1 rondas, comprueba si alguna arista todavía puede relajarse
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué estructura de datos usa un programa en ejecución para llevar el control de las llamadas a funciones activas y sus variables locales?

  1. AUn árbol binario de búsqueda de marcos
  2. BUna tabla hash de funciones
  3. CLa pila de llamadas
  4. DLa cola de memoria del heap
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué garantía dan las reglas del árbol rojo-negro sobre la altura de un árbol con n claves?

  1. ALa altura es como máximo log2 n + 1
  2. BLa altura es exactamente log2 n
  3. CLa altura es como máximo n / 2
  4. DLa altura es como máximo 2 log2(n + 1)
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K7? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K7
H =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 3 empiezan y terminan en C? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 3
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Un array que ya está ordenado

Por qué esta es la respuesta

Con una entrada ordenada, el pivote es siempre el mínimo, así que un lado queda vacío y el otro tiene n − 1 elementos, lo que da O(n²).

Respuesta

D · Un array que ya está ordenado
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Tras V − 1 rondas, comprueba si alguna arista todavía puede relajarse

Por qué esta es la respuesta

Todas las distancias mínimas reales se hallan en V − 1 rondas; si una arista todavía puede mejorarse, debe existir un ciclo negativo.

Respuesta

D · Tras V − 1 rondas, comprueba si alguna arista todavía puede relajarse
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · La pila de llamadas

Por qué esta es la respuesta

Cada llamada apila un marco de pila y cada retorno lo desapila; por eso la llamada más reciente termina primero.

Respuesta

C · La pila de llamadas
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · La altura es como máximo 2 log2(n + 1)

Por qué esta es la respuesta

Todos los caminos tienen el mismo número de nodos negros y los nodos rojos no pueden ser adyacentes, así que el camino más largo es como mucho el doble del más corto, lo que da una altura O(log n).

Respuesta

D · La altura es como máximo 2 log2(n + 1)
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 360

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Respuesta

H = 360
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Un paso más

(M³)CC = 1·0 + 1·1 + 2·0 + 1·0 + 1·1 + 1·0 = 2

Respuesta

N = 2

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