Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árbol y bosque: |E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en K_n: (n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L: (Mᴸ)_ij

Método

Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es el tiempo de ejecución del radix sort LSD sobre n enteros de d dígitos en base k?

AO(d(n + k))
BO(n log n)
CO(n²)
DO(dn log k)

2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Está 2²ⁿ en O(2ⁿ)?

ASí, porque ambos son exponenciales
BNo, porque 2²ⁿ crece más despacio que 2ⁿ
CNo, porque 2²ⁿ = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite
DSí, porque los factores constantes del exponente se ignoran siempre en la notación O grande

3.Estructuras de datosMedia

¿Qué ocurre cuando una tabla hash hace un rehash porque su factor de carga supera un umbral?

ASe eliminan las claves más antiguas para hacer sitio
BSolo las claves que colisionan se mueven a una lista de desbordamiento nueva al final de la tabla
CLas claves existentes se ordenan en su sitio
DSe reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave

4.Estructuras de datosDifícil

Un árbol de Fenwick (binary indexed tree) sobre un arreglo de n números permite, ¿qué operaciones en O(log n)?

AEncontrar la mediana en O(1)
BConsultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento
CInsertar elementos en cualquier posición
DOrdenar el arreglo y la búsqueda binaria

5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 4 vértices de grado 4, 4 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

4 × deg 44 × deg 2

L =

6.Teoría de grafosDifícil

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F

d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(d(n + k))

Por qué esta es la respuesta

Cada una de las d pasadas es un ordenamiento por cuentas de coste O(n + k), así que, con d y k fijos, el total es lineal en n.

Respuesta

A · O(d(n + k))

2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · No, porque 2²ⁿ = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite

Por qué esta es la respuesta

Una constante sumada al exponente da un factor constante, pero una constante que multiplica al exponente cambia la base y el ritmo de crecimiento.

Respuesta

C · No, porque 2²ⁿ = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite

3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Se reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave

Por qué esta es la respuesta

Como el índice se calcula módulo el tamaño de la tabla, todas las claves deben redistribuirse en la tabla nueva y mayor; duplicando el tamaño, esto sigue siendo O(1) amortizado.

Respuesta

D · Se reserva una tabla mayor y se vuelve a insertar cada clave

4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Consultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento

Por qué esta es la respuesta

Un árbol de Fenwick almacena sumas parciales sobre rangos determinados por los bits bajos de cada índice, así que tanto las sumas de prefijos como las actualizaciones puntuales cuestan O(log n).

Respuesta

B · Consultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento

5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 10

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; K_n tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 24 = 2(L + 8) − 2

L = 10

Respuesta

L = 10

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 40

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): C: 15

C (15): B: 17, G: 30

B (17): D: 30

D (30): F: 40

G (30): E: 42

F (40)

E (42)

Camino más corto

A → C → B → D → F

d(F) = 40

Respuesta

d(F) = 40

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