Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la complejidad temporal de construir un montículo binario a partir de n elementos sin ordenar con el método ascendente (bottom-up)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué condición de equilibrio mantiene un árbol AVL en cada nodo?

  1. AAmbos subárboles de cada nodo contienen exactamente el mismo número de nodos
  2. BTodas las hojas están exactamente a la misma profundidad
  3. CCada nodo está coloreado de rojo o de negro
  4. DLas alturas de los subárboles izquierdo y derecho difieren como máximo en 1
4.Estructuras de datosDifícil

Un árbol de segmentos (segment tree) se usa normalmente para:

  1. AOrdenar cadenas alfabéticamente almacenando cada prefijo en un nodo distinto del árbol
  2. BResponder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)
  3. CImplementar una pila
  4. DAlmacenar las aristas de un grafo
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K4? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K4
H =
6.Teoría de grafosDifícil
6971451414815ABCDEFG

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 3; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

El problema se reduce a la mitad en cada paso con trabajo constante por paso, así que hay unos log₂ n pasos.

Respuesta

B · O(log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Sumar los costes de hundimiento (sift-down) en todos los niveles da una serie convergente, así que heapify se ejecuta en tiempo lineal.

Respuesta

A · O(n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Las alturas de los subárboles izquierdo y derecho difieren como máximo en 1

Por qué esta es la respuesta

El factor de equilibrio (altura izquierda − altura derecha) debe ser −1, 0 o 1; las rotaciones lo restablecen tras las inserciones y eliminaciones.

Respuesta

D · Las alturas de los subárboles izquierdo y derecho difieren como máximo en 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Responder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Un árbol de segmentos almacena agregados de intervalos y permite consultas por rangos y actualizaciones puntuales en tiempo O(log n).

Respuesta

B · Responder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 3

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Respuesta

H = 3
6.Teoría de grafos

Respuesta: C

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 6, C: 9
2. B (6): D: 13, G: 20
3. C (9)
4. D (13): F: 27
5. G (20): E: 35
6. F (27): E: 32
7. E (32)

ronda 3

C

Respuesta

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms