Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Con monedas de 1, 3 y 4 y una cantidad de 6, ¿cuántas monedas usa el método voraz de «la moneda más grande primero», comparado con el óptimo?

  1. AEl voraz usa 4 monedas; el óptimo es 3
  2. BEl voraz usa 3 monedas; el óptimo es 3
  3. CEl voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2
  4. DEl voraz usa 2 monedas; el óptimo es 2
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué estableció el teorema de Cook-Levin?

  1. AEl problema de la parada es indecidible
  2. BTodo problema NP puede resolverse en tiempo exponencial
  3. CEl problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
  4. DP no es igual a NP
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué se cumple en la matriz de adyacencia de un grafo no dirigido?

  1. ASu diagonal principal siempre contiene unos
  2. BSiempre es triangular superior
  3. CEs simétrica respecto a la diagonal principal
  4. DCada fila tiene exactamente un 1
4.Estructuras de datosDifícil

Un árbol de Fenwick (binary indexed tree) sobre un arreglo de n números permite, ¿qué operaciones en O(log n)?

  1. AOrdenar el arreglo y la búsqueda binaria
  2. BConsultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento
  3. CEncontrar la mediana en O(1)
  4. DInsertar elementos en cualquier posición
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
1619285414106ABCDEF

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · El voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2

Por qué esta es la respuesta

El voraz toma 4 + 1 + 1 = 3 monedas, pero 3 + 3 usa solo 2, así que el método voraz no es óptimo para este sistema de monedas; la programación dinámica sí lo es.

Respuesta

C · El voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo

Por qué esta es la respuesta

Cook y Levin demostraron de forma independiente que todo problema de NP se reduce a SAT en tiempo polinómico, así que SAT fue el primer problema NP-completo conocido.

Respuesta

C · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Es simétrica respecto a la diagonal principal

Por qué esta es la respuesta

En un grafo no dirigido, la arista {u, v} implica que tanto M[u][v] como M[v][u] están marcadas, así que la matriz es igual a su traspuesta.

Respuesta

C · Es simétrica respecto a la diagonal principal
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Consultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento

Por qué esta es la respuesta

Un árbol de Fenwick almacena sumas parciales sobre rangos determinados por los bits bajos de cada índice, así que tanto las sumas de prefijos como las actualizaciones puntuales cuestan O(log n).

Respuesta

B · Consultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Vértices impares

A, D → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 37

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

BC (2): tomar
DE (4): tomar
CE (5): tomar
BE (6): descartar, cierra un ciclo
BD (8): descartar, cierra un ciclo
EF (10): tomar
DF (14): descartar, cierra un ciclo
AB (16): tomar

Peso total

W = 2 + 4 + 5 + 10 + 16 = 37

Respuesta

W = 37

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