Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Un quicksort usa siempre el primer elemento como pivote. ¿Con qué entrada muestra su comportamiento de peor caso?

  1. AUn array que ya está ordenado
  2. BUn array con todos sus elementos distintos
  3. CUn array de longitud 2
  4. DUn array en orden aleatorio
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Tomar los dos extremos de cada arista de un emparejamiento maximal da un recubrimiento de vértices. ¿Cómo de bueno es este recubrimiento?

  1. AComo mucho log n veces el mínimo
  2. BComo mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
  3. CSiempre es un recubrimiento de vértices mínimo
  4. DDe calidad desconocida respecto al óptimo
3.Estructuras de datosMedia

Una red de carreteras tiene 100,000 cruces, cada uno conectado con unos 4 más. ¿Qué representación es la más adecuada?

  1. AUn único arreglo ordenado de vértices
  2. BUn montículo binario de aristas
  3. CLista de adyacencia
  4. DMatriz de adyacencia
4.Estructuras de datosDifícil

Bajo el supuesto de hashing uniforme simple, ¿cuál es el tiempo esperado de una búsqueda en una tabla hash con encadenamiento, n claves y m cubetas?

  1. AO(n)
  2. BO(1 + α), donde α = n / m
  3. CO(log n)
  4. DO(m)
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 10 vértices y 10 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 10|E| = 10
k =
6.Teoría de grafosDifícil
181511283101711ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Un array que ya está ordenado

Por qué esta es la respuesta

Con una entrada ordenada, el pivote es siempre el mínimo, así que un lado queda vacío y el otro tiene n − 1 elementos, lo que da O(n²).

Respuesta

A · Un array que ya está ordenado
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo

Por qué esta es la respuesta

Las aristas del emparejamiento no comparten vértices, así que el óptimo necesita al menos un vértice por arista, mientras que este método toma dos: una 2-aproximación.

Respuesta

B · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Lista de adyacencia

Por qué esta es la respuesta

Una matriz necesitaría 1010 celdas, casi todas vacías; una lista de adyacencia solo almacena unas 400,000 entradas de aristas.

Respuesta

C · Lista de adyacencia
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(1 + α), donde α = n / m

Por qué esta es la respuesta

Calcular el hash cuesta O(1) y la longitud esperada de la cadena es α, así que mantener α acotado mediante redimensionamientos da un tiempo esperado O(1).

Respuesta

B · O(1 + α), donde α = n / m
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 1

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

10 − 1 = 9

Aristas que quitar

k = 10 − 9 = 1

Respuesta

k = 1
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 49

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

BD (1): tomar
EF (3): tomar
DE (8): tomar
GB (10): tomar
GE (11): descartar, cierra un ciclo
CE (12): tomar
AC (15): tomar

Peso total

W = 1 + 3 + 8 + 10 + 12 + 15 = 49

Respuesta

W = 49

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