Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal amortizada de añadir al final de un array dinámico que duplica su capacidad cuando está lleno?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Está 22n en O(2ⁿ)?

  1. ANo, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite
  2. BSí, porque ambos son exponenciales
  3. CNo, porque 22n crece más despacio que 2ⁿ
  4. DSí, porque los factores constantes del exponente se ignoran siempre en la notación O grande
3.Estructuras de datosMedia

Un árbol binario tiene la raíz 1 con hijo izquierdo 2 e hijo derecho 3; el nodo 2 tiene los hijos 4 (izquierdo) y 5 (derecho). ¿Cuál es el recorrido en preorden?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B1 2 3 4 5
  3. C4 2 5 1 3
  4. D4 5 2 3 1
4.Estructuras de datosDifícil

Las claves 5, 3, 8, 1 se insertan en este orden en un min-heap binario vacío basado en un arreglo. ¿Cuál es el arreglo final?

  1. A[1, 5, 8, 3]
  2. B[1, 3, 5, 8]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[3, 1, 8, 5]
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 14 vértices y 20 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 14|E| = 20
k =
6.Teoría de grafosDifícil
3111996105ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(1)

Por qué esta es la respuesta

Todos los elementos se copian solo en potencias de dos; repartido entre todas las inserciones, el coste medio por inserción es constante.

Respuesta

B · O(1)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · No, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite

Por qué esta es la respuesta

Una constante sumada al exponente da un factor constante, pero una constante que multiplica al exponente cambia la base y el ritmo de crecimiento.

Respuesta

A · No, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · 1 2 4 5 3

Por qué esta es la respuesta

El preorden visita 1, luego su subárbol izquierdo (2, 4, 5) y después 3; las demás opciones son el recorrido en orden, el postorden y el recorrido por niveles.

Respuesta

A · 1 2 4 5 3
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · [1, 3, 8, 5]

Por qué esta es la respuesta

Tras 5, 3, 8 el arreglo es [3, 5, 8]; 1 va al índice 3, se intercambia con su padre 5 y luego con 3, lo que da [1, 3, 8, 5].

Respuesta

C · [1, 3, 8, 5]
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 7

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

14 − 1 = 13

Aristas que quitar

k = 20 − 13 = 7

Respuesta

k = 7
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 21

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): C: 3
C (3): B: 14, E: 12
E (12): D: 21, F: 22
B (14): D: 15
D (15): F: 21
F (21)

Camino más corto

A → C → B → D → F
d(F) = 21

Respuesta

d(F) = 21

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