Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árbol y bosque: |E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en K_n: (n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L: (Mᴸ)_ij

Método

Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Un algoritmo voraz (greedy):

ASolo usa recursión
BSiempre da la solución óptima
CToma la mejor decisión local en cada paso
DPrueba todas las soluciones posibles

2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = 2T(n/2) + n log n?

AΘ(n log² n)
BΘ(n log n)
CΘ(n)
DΘ(n²)

3.Estructuras de datosMedia

¿Cuántos nodos tiene un árbol binario perfecto de altura h, contando la altura en aristas?

Ah²
B2^h
C2h + 1
D2^h+1 − 1

4.Estructuras de datosDifícil

Un árbol de segmentos (segment tree) se usa normalmente para:

AResponder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)
BImplementar una pila
CAlmacenar las aristas de un grafo
DOrdenar cadenas alfabéticamente almacenando cada prefijo en un nodo distinto del árbol

5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 8 vértices y 9 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 8|E| = 9

k =

6.Teoría de grafosDifícil

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F

d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Toma la mejor decisión local en cada paso

Por qué esta es la respuesta

Los algoritmos voraces son rápidos y óptimos para algunos problemas (p. ej., Dijkstra, codificación de Huffman), pero no en general (p. ej., el problema del cambio con algunos sistemas de monedas).

Respuesta

C · Toma la mejor decisión local en cada paso

2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Θ(n log² n)

Por qué esta es la respuesta

El nivel k hace un trabajo de unos n log(n / 2ᵏ), y sumar sobre los log n niveles da Θ(n log² n), el segundo caso ampliado del teorema maestro.

Respuesta

A · Θ(n log² n)

3.Estructuras de datos

Respuesta: D · 2^h+1 − 1

Por qué esta es la respuesta

Sumar 1 + 2 + 4 + ... + 2^h da 2^h+1 − 1; por ejemplo, la altura 2 da 7 nodos.

Respuesta

D · 2^h+1 − 1

4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Responder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Un árbol de segmentos almacena agregados de intervalos y permite consultas por rangos y actualizaciones puntuales en tiempo O(log n).

Respuesta

A · Responder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)

5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 2

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; K_n tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

8 − 1 = 7

Aristas que quitar

k = 9 − 7 = 2

Respuesta

k = 2

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 30

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 8, C: 15

B (8): D: 15, E: 14

E (14)

C (15)

D (15): F: 30

F (30)

Camino más corto

A → B → D → F

d(F) = 30

Respuesta

d(F) = 30

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