Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es el tiempo de ejecución del algoritmo de Dijkstra con un montículo binario en un grafo con V vértices y E aristas?

  1. AO(V³)
  2. BO(V × E)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V + E)
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánta memoria utiliza una matriz de adyacencia para un grafo con V vértices?

  1. AO(log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V²)
  4. DO(E)
4.Estructuras de datosDifícil

Al insertar una clave en un árbol AVL, el subárbol izquierdo de un nodo queda demasiado alto, y la nueva clave fue al subárbol izquierdo de su hijo izquierdo (caso izquierda-izquierda). ¿Qué corrección se aplica?

  1. ARecolorear el nodo y su hijo
  2. BUna rotación simple a la izquierda en el nodo desequilibrado
  3. CUna rotación a la izquierda en el hijo y luego una rotación a la derecha en el nodo
  4. DUna rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 4 vértices de grado 3, 2 vértices de grado 4, 2 vértices de grado 5, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

4 × deg 32 × deg 42 × deg 5
L =
6.Teoría de grafosDifícil
1181213477613ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n²)

Por qué esta es la respuesta

El trabajo suma unos n² / 2; es la recurrencia del ordenamiento por selección o de quicksort con el peor pivote.

Respuesta

B · O(n²)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O((V + E) log V)

Por qué esta es la respuesta

Hay V operaciones extract-min y hasta E operaciones decrease-key, cada una O(log V); un montículo de Fibonacci lo mejora a O(E + V log V).

Respuesta

C · O((V + E) log V)
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · O(V²)

Por qué esta es la respuesta

Una matriz de adyacencia almacena V × V entradas, lo cual es eficiente para grafos densos; las listas de adyacencia usan O(V + E), mejor para grafos dispersos.

Respuesta

C · O(V²)
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado

Por qué esta es la respuesta

En el caso izquierda-izquierda, una rotación a la derecha sube el hijo izquierdo y restablece el equilibrio; los casos en zigzag necesitan una rotación doble.

Respuesta

D · Una rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 16

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 30 = 2(L + 8) − 2
L = 16

Respuesta

L = 16

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 34

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 11, C: 8
C (8): G: 14
B (11)
G (14): E: 27
E (27): D: 40, F: 34
F (34): D: 38
D (38)

Camino más corto

A → C → G → E → F
d(F) = 34

Respuesta

d(F) = 34

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