Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La búsqueda en anchura (BFS) en un grafo no ponderado encuentra:

  1. AUn orden topológico en todos los grafos
  2. BEl árbol de expansión mínima
  3. CLos caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial
  4. DLos caminos más cortos en grafos que contienen aristas con pesos negativos
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es el coste amortizado de incrementar un contador binario, sabiendo que un incremento puede cambiar muchos bits?

  1. AO(log n) por incremento
  2. BO(n log n) por incremento
  3. CO(n) por incremento
  4. DO(1) por incremento
3.Estructuras de datosMedia

Un árbol binario tiene la raíz 1 con hijo izquierdo 2 e hijo derecho 3; el nodo 2 tiene los hijos 4 (izquierdo) y 5 (derecho). ¿Cuál es el recorrido en preorden?

  1. A1 2 3 4 5
  2. B4 5 2 3 1
  3. C4 2 5 1 3
  4. D1 2 4 5 3
4.Estructuras de datosDifícil

Bajo el supuesto de hashing uniforme simple, ¿cuál es el tiempo esperado de una búsqueda en una tabla hash con encadenamiento, n claves y m cubetas?

  1. AO(1 + α), donde α = n / m
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(m)
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
91474771511ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 3; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Los caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial

Por qué esta es la respuesta

BFS visita los nodos en orden de distancia (en aristas) desde el origen, así que encuentra los caminos más cortos no ponderados en O(V + E).

Respuesta

C · Los caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(1) por incremento

Por qué esta es la respuesta

En n incrementos, el bit i cambia unas n / 2ⁱ veces, así que el total es menor que 2n cambios, una media de O(1) por incremento.

Respuesta

D · O(1) por incremento
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · 1 2 4 5 3

Por qué esta es la respuesta

El preorden visita 1, luego su subárbol izquierdo (2, 4, 5) y después 3; las demás opciones son el recorrido en orden, el postorden y el recorrido por niveles.

Respuesta

D · 1 2 4 5 3
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · O(1 + α), donde α = n / m

Por qué esta es la respuesta

Calcular el hash cuesta O(1) y la longitud esperada de la cadena es α, así que mantener α acotado mediante redimensionamientos da un tiempo esperado O(1).

Respuesta

A · O(1 + α), donde α = n / m
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: D

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 9, C: 14
2. B (9): D: 13
3. D (13): E: 20, F: 28
4. C (14)
5. E (20)
6. F (28)

ronda 3

D

Respuesta

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms