Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de quicksort en el peor caso?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué se deduciría si alguien hallara un algoritmo de tiempo polinómico para un problema NP-completo?

  1. ATodos los algoritmos de tiempo exponencial pasarían de inmediato a ejecutarse en tiempo lineal
  2. BSolo ese problema pasaría a P
  3. CTodo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP
  4. DEl problema de la parada se volvería decidible
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuántos nodos tiene un árbol binario perfecto de altura h, contando la altura en aristas?

  1. A2h
  2. B2h+1 − 1
  3. Ch2
  4. D2h + 1
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué hace un splay tree después de cada acceso?

  1. ARecolorea los nodos del camino de búsqueda
  2. BSube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz
  3. CReconstruye todo el árbol en forma balanceada
  4. DMueve el nodo accedido a una hoja
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 17 vértices y 21 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 17|E| = 21
k =
6.Teoría de grafosDifícil
15128220651774ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(n²)

Por qué esta es la respuesta

Con pivotes malos de forma sistemática (p. ej., una entrada ya ordenada y el primer elemento como pivote) las particiones quedan desequilibradas, lo que da O(n²). El caso promedio es O(n log n).

Respuesta

C · O(n²)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Todo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP

Por qué esta es la respuesta

Como todo NP se reduce en tiempo polinómico a cualquier problema NP-completo, un algoritmo rápido para uno da un algoritmo rápido para todos.

Respuesta

C · Todo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · 2h+1 − 1

Por qué esta es la respuesta

Sumar 1 + 2 + 4 + ... + 2h da 2h+1 − 1; por ejemplo, la altura 2 da 7 nodos.

Respuesta

B · 2h+1 − 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Sube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz

Por qué esta es la respuesta

El splaying lleva el nodo accedido a la raíz mediante rotaciones; una sola operación puede costar O(n), pero el coste amortizado es O(log n).

Respuesta

B · Sube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 5

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

17 − 1 = 16

Aristas que quitar

k = 21 − 16 = 5

Respuesta

k = 5
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 40

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

DE (2): tomar
GE (4): tomar
GB (5): tomar
EF (6): tomar
GD (7): descartar, cierra un ciclo
CE (8): tomar
BD (12): descartar, cierra un ciclo
AB (15): tomar

Peso total

W = 2 + 4 + 5 + 6 + 8 + 15 = 40

Respuesta

W = 40

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