Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué calcula el algoritmo de Floyd-Warshall y con qué rapidez?

  1. ALos caminos más cortos desde un vértice origen hasta todos los demás en O(V + E)
  2. BUn árbol de expansión mínima en O(E log V)
  3. CLos caminos más cortos entre todos los pares de vértices en O(V³)
  4. DUn orden topológico en O(V²)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cómo se comparan n! y 2ⁿ para n grande?

  1. An! crece más deprisa que 2ⁿ
  2. BCrecen al mismo ritmo
  3. C2ⁿ crece más deprisa que n!
  4. Dn! es O(n²)
3.Estructuras de datosMedia

En un montículo binario almacenado en un arreglo que empieza en el índice 0, ¿dónde está el padre del nodo del índice i?

  1. AEn el índice ⌊i / 2⌋ + 1
  2. BEn el índice i − 1
  3. CEn el índice 2i + 1
  4. DEn el índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estructuras de datosDifícil

¿En qué mejora un radix tree (trie comprimido) a un trie simple?

  1. AFusiona las cadenas de nodos con un solo hijo en una arista etiquetada con una cadena
  2. BOrdena los hijos de cada nodo por frecuencia
  3. CSolo guarda la primera letra de cada palabra
  4. DAlmacena cada palabra en una tabla hash en la raíz en lugar de en nodos separados
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 12 vértices y 21 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 12|E| = 21
k =
6.Teoría de grafosDifícil
518715914341619ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Los caminos más cortos entre todos los pares de vértices en O(V³)

Por qué esta es la respuesta

Floyd-Warshall es un algoritmo de programación dinámica que permite por turnos que cada vértice sea punto intermedio, con un tiempo O(V³).

Respuesta

C · Los caminos más cortos entre todos los pares de vértices en O(V³)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · n! crece más deprisa que 2ⁿ

Por qué esta es la respuesta

Para n ≥ 4, n! supera a 2ⁿ, y el cociente crece sin límite porque cada factor adicional de n! es mayor que 2.

Respuesta

A · n! crece más deprisa que 2ⁿ
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · En el índice ⌊(i − 1) / 2⌋

Por qué esta es la respuesta

Los hijos de i están en 2i + 1 y 2i + 2, así que el padre de i está en ⌊(i − 1) / 2⌋; con índices desde 1 es ⌊i / 2⌋.

Respuesta

D · En el índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Fusiona las cadenas de nodos con un solo hijo en una arista etiquetada con una cadena

Por qué esta es la respuesta

Contraer los caminos sin ramificaciones reduce el número de nodos y la memoria usada, sin perder la búsqueda por prefijo.

Respuesta

A · Fusiona las cadenas de nodos con un solo hijo en una arista etiquetada con una cadena
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 10

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

12 − 1 = 11

Aristas que quitar

k = 21 − 11 = 10

Respuesta

k = 10
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 50

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

GB (3): tomar
GC (4): tomar
AB (5): tomar
BC (7): descartar, cierra un ciclo
DE (9): tomar
EF (14): tomar
CE (15): tomar

Peso total

W = 3 + 4 + 5 + 9 + 14 + 15 = 50

Respuesta

W = 50

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