Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Aproximadamente cuántas comparaciones necesita la búsqueda binaria en el peor caso en un array ordenado de 1,000,000 de elementos?

  1. AUnas 100
  2. BUnas 500,000
  3. CUnas 20
  4. DUnas 1,000
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué la búsqueda binaria no da un tiempo O(log n) en una lista simplemente enlazada?

  1. ALa búsqueda binaria necesita al menos el doble de memoria
  2. BLas listas enlazadas no pueden ordenarse
  3. CLlegar al elemento central lleva O(n) pasos, porque no hay acceso directo por índice
  4. DLas comparaciones entre nodos de una lista enlazada son más lentas
3.Estructuras de datosMedia

¿Para qué sirve un nodo centinela (ficticio) en una lista enlazada?

  1. APara simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
  2. BPara impedir que la lista crezca más allá de un número máximo fijo de nodos
  3. CPara almacenar el número de elementos
  4. DPara mantener la lista ordenada
4.Estructuras de datosDifícil

Un árbol de Fenwick (binary indexed tree) sobre un arreglo de n números permite, ¿qué operaciones en O(log n)?

  1. AConsultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento
  2. BEncontrar la mediana en O(1)
  3. CInsertar elementos en cualquier posición
  4. DOrdenar el arreglo y la búsqueda binaria
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 12 vértices y 19 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 12|E| = 19
k =
6.Teoría de grafosDifícil
1272934105181715ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Unas 20

Por qué esta es la respuesta

220 ≈ 1,048,576, así que tras unas 20 divisiones por la mitad solo queda un elemento.

Respuesta

C · Unas 20
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Llegar al elemento central lleva O(n) pasos, porque no hay acceso directo por índice

Por qué esta es la respuesta

La búsqueda binaria necesita acceso O(1) al elemento central; en una lista enlazada, llegar hasta él cuesta tiempo lineal, así que el total es O(n).

Respuesta

C · Llegar al elemento central lleva O(n) pasos, porque no hay acceso directo por índice
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola

Por qué esta es la respuesta

Con un centinela, todo nodo real tiene un predecesor, así que insertar o eliminar en la cabeza no requiere ningún tratamiento especial.

Respuesta

A · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Consultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento

Por qué esta es la respuesta

Un árbol de Fenwick almacena sumas parciales sobre rangos determinados por los bits bajos de cada índice, así que tanto las sumas de prefijos como las actualizaciones puntuales cuestan O(log n).

Respuesta

A · Consultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 8

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

12 − 1 = 11

Aristas que quitar

k = 19 − 11 = 8

Respuesta

k = 8
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 33

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

BD (2): tomar
DE (3): tomar
DF (4): tomar
GB (5): tomar
BC (7): tomar
CE (9): descartar, cierra un ciclo
EF (10): descartar, cierra un ciclo
AB (12): tomar

Peso total

W = 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 12 = 33

Respuesta

W = 33

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