Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué definición de la clase P es correcta?

  1. AProblemas cuyas soluciones pueden comprobarse, pero nunca hallarse, en tiempo polinómico
  2. BProblemas que pueden resolverse en paralelo
  3. CProblemas que necesitan tiempo exponencial en cualquier ordenador
  4. DProblemas de decisión resolubles por un algoritmo determinista en tiempo polinómico
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué estructura de datos utiliza la búsqueda en profundidad (DFS) en su versión iterativa?

  1. ASolo una tabla hash
  2. BUna cola
  3. CUna pila
  4. DUn montículo
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué propiedad debe cumplir un árbol rojo-negro?

  1. ATodo nodo rojo debe tener hijos rojos, así que los nodos rojos forman siempre cadenas ininterrumpidas hasta las hojas
  2. BLa raíz debe ser roja
  3. CTodos los nodos deben ser rojos
  4. DTodo camino desde un nodo hasta sus hojas descendientes tiene el mismo número de nodos negros
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 15 vértices y 15 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 15|E| = 15
k =
6.Teoría de grafosDifícil
15118114520163ABCDEFG

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice F. Haz clic en la arista que añade como arista número 5.

inicio: Fk = 5
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista EF
  8. 8arista GB
  9. 9arista GC

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Hay n niveles con trabajo constante cada uno, como en la suma recursiva de un array.

Respuesta

B · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Problemas de decisión resolubles por un algoritmo determinista en tiempo polinómico

Por qué esta es la respuesta

P contiene los problemas de decisión con un algoritmo determinista de tiempo polinómico, como comprobar si un grafo es conexo.

Respuesta

D · Problemas de decisión resolubles por un algoritmo determinista en tiempo polinómico
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Una pila

Por qué esta es la respuesta

DFS explora lo más profundo posible y usa de forma natural una pila (o la pila de llamadas de la recursión); BFS usa una cola.

Respuesta

C · Una pila
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Todo camino desde un nodo hasta sus hojas descendientes tiene el mismo número de nodos negros

Por qué esta es la respuesta

Reglas rojo-negro: los nodos son rojos o negros, la raíz es negra, los nodos rojos tienen hijos negros y todos los caminos tienen la misma altura negra, lo que mantiene la altura ≤ 2 log₂(n + 1).

Respuesta

D · Todo camino desde un nodo hasta sus hojas descendientes tiene el mismo número de nodos negros
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 1

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

15 − 1 = 14

Aristas que quitar

k = 15 − 14 = 1

Respuesta

k = 1
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista GC

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. EF (20)
2. DE (5)
3. BD (1)
4. BC (8)
5. GC (3)
6. AC (11)

arista número 5

GC

Respuesta

arista GC

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