Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La recurrencia T(n) = 2T(n/2) + O(n) tiene como solución:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál de estos problemas de satisfacibilidad se sabe que es resoluble en tiempo polinómico?

  1. A3-SAT, donde cada cláusula tiene exactamente tres literales
  2. BSAT general sobre fórmulas en forma normal conjuntiva
  3. C2-SAT, donde cada cláusula tiene como mucho dos literales
  4. DLa satisfacibilidad de circuitos
3.Estructuras de datosMedia

Una red de carreteras tiene 100,000 cruces, cada uno conectado con unos 4 más. ¿Qué representación es la más adecuada?

  1. ALista de adyacencia
  2. BUn único arreglo ordenado de vértices
  3. CUn montículo binario de aristas
  4. DMatriz de adyacencia
4.Estructuras de datosDifícil

El algoritmo de Kahn para la ordenación topológica elimina repetidamente los vértices con grado de entrada 0. ¿Qué estructura contiene esos vértices?

  1. AUna pila de todas las aristas visitadas
  2. BUn max-heap ordenado por grado de salida
  3. CUna cola (o cualquier colección) de vértices con grado de entrada 0
  4. DUna matriz de adyacencia que registra qué vértices ya se han eliminado
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 3, 2 vértices de grado 4, 4 vértices de grado 5, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 32 × deg 44 × deg 5
L =
6.Teoría de grafosDifícil
41142051612ABCDE

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(n log n)

Por qué esta es la respuesta

Por el teorema maestro (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Respuesta

A · O(n log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · 2-SAT, donde cada cláusula tiene como mucho dos literales

Por qué esta es la respuesta

2-SAT está en P (tiempo lineal mediante componentes fuertemente conexas), mientras que 3-SAT es NP-completo.

Respuesta

C · 2-SAT, donde cada cláusula tiene como mucho dos literales
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Lista de adyacencia

Por qué esta es la respuesta

Una matriz necesitaría 1010 celdas, casi todas vacías; una lista de adyacencia solo almacena unas 400,000 entradas de aristas.

Respuesta

A · Lista de adyacencia
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Una cola (o cualquier colección) de vértices con grado de entrada 0

Por qué esta es la respuesta

Los vértices listos se guardan en una cola; eliminar uno reduce el grado de entrada de sus vecinos, y los que llegan a 0 se añaden, lo que da un tiempo O(V + E).

Respuesta

C · Una cola (o cualquier colección) de vértices con grado de entrada 0
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 21

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 37 = 2(L + 9) − 2
L = 21

Respuesta

L = 21

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 26

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

AC (1): tomar
AB (4): tomar
CE (5): tomar
BE (12): descartar, cierra un ciclo
BC (14): descartar, cierra un ciclo
DE (16): tomar

Peso total

W = 1 + 4 + 5 + 16 = 26

Respuesta

W = 26

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