Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Un algoritmo voraz (greedy):

  1. APrueba todas las soluciones posibles
  2. BSolo usa recursión
  3. CSiempre da la solución óptima
  4. DToma la mejor decisión local en cada paso
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Tomar los dos extremos de cada arista de un emparejamiento maximal da un recubrimiento de vértices. ¿Cómo de bueno es este recubrimiento?

  1. AComo mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
  2. BComo mucho log n veces el mínimo
  3. CSiempre es un recubrimiento de vértices mínimo
  4. DDe calidad desconocida respecto al óptimo
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánta memoria usa una lista de adyacencia para un grafo con V vértices y E aristas?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V²)
  3. CO(E²)
  4. DO(V + E)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cuál es la principal ventaja de una skip list sobre una lista enlazada ordenada?

  1. AAlmacena las claves sin orden
  2. BBúsqueda garantizada en O(1), porque cada nodo guarda un puntero a todos los demás nodos
  3. CNo usa memoria adicional
  4. DBúsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 3, 4 vértices de grado 4, 3 vértices de grado 5, 2 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 34 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
365210576ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Toma la mejor decisión local en cada paso

Por qué esta es la respuesta

Los algoritmos voraces son rápidos y óptimos para algunos problemas (p. ej., Dijkstra, codificación de Huffman), pero no en general (p. ej., el problema del cambio con algunos sistemas de monedas).

Respuesta

D · Toma la mejor decisión local en cada paso
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo

Por qué esta es la respuesta

Las aristas del emparejamiento no comparten vértices, así que el óptimo necesita al menos un vértice por arista, mientras que este método toma dos: una 2-aproximación.

Respuesta

A · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · O(V + E)

Por qué esta es la respuesta

Cada vértice tiene una lista y cada arista aparece una vez (dirigido) o dos veces (no dirigido), lo que da O(V + E).

Respuesta

D · O(V + E)
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Búsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante

Por qué esta es la respuesta

Los niveles aleatorios permiten que las búsquedas salten muchos nodos, lo que da O(log n) esperado en búsqueda, inserción y eliminación.

Respuesta

D · Búsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 22

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 44 = 2(L + 12) − 2
L = 22

Respuesta

L = 22

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 15

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 3, C: 6
B (3): E: 9
C (6): E: 8
E (8): D: 18, F: 15
F (15)
D (18)

Camino más corto

A → C → E → F
d(F) = 15

Respuesta

d(F) = 15

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