Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué significa que un problema tenga subestructura óptima?

  1. AEl problema tiene exactamente una solución óptima, que comparten todos sus subproblemas
  2. BTodos los subproblemas tienen el mismo tamaño
  3. CUna solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
  4. DEl problema puede resolverse en tiempo constante
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre la notación o pequeña es correcta?

  1. An = o(n), porque toda función es o pequeña de sí misma
  2. Bn² = o(n)
  3. Cn = o(n²), pero n no es o(n)
  4. D2n = o(n), porque 2n crece despacio
3.Estructuras de datosMedia

¿Cómo se encuentra la clave mínima en un árbol binario de búsqueda?

  1. AMirar solo la raíz
  2. BVisitar todas las hojas y compararlas
  3. CSeguir los hijos izquierdos desde la raíz hasta que no haya hijo izquierdo
  4. DSeguir los hijos derechos desde la raíz hasta que no haya hijo derecho
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué afirmación sobre heapsort es correcta?

  1. AEs estable y necesita O(n) de memoria adicional
  2. BOrdena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable
  3. CSe ejecuta en tiempo O(n) con cualquier entrada
  4. DNecesita un árbol binario de búsqueda como almacenamiento adicional, así que usa O(n) de memoria extra
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K8? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K8
H =
6.Teoría de grafosDifícil
961414111214ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas

Por qué esta es la respuesta

La subestructura óptima es necesaria para que tanto los algoritmos voraces como la programación dinámica den respuestas correctas.

Respuesta

C · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · n = o(n²), pero n no es o(n)

Por qué esta es la respuesta

f = o(g) significa que f(n) / g(n) tiende a 0; n / n² tiende a 0, pero n / n = 1 no.

Respuesta

C · n = o(n²), pero n no es o(n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Seguir los hijos izquierdos desde la raíz hasta que no haya hijo izquierdo

Por qué esta es la respuesta

El nodo situado más a la izquierda no tiene ninguna clave menor en el árbol, así que es el mínimo; el coste es proporcional a la altura.

Respuesta

C · Seguir los hijos izquierdos desde la raíz hasta que no haya hijo izquierdo
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Ordena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable

Por qué esta es la respuesta

Heapsort construye un max-heap y extrae el máximo n veces dentro del mismo arreglo; los intercambios a larga distancia pueden reordenar claves iguales.

Respuesta

B · Ordena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 2520

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Respuesta

H = 2520
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 20

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 9, C: 6
C (6): E: 7
E (7): D: 18, F: 21
B (9)
D (18): F: 20
F (20)

Camino más corto

A → C → E → D → F
d(F) = 20

Respuesta

d(F) = 20

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