Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Tomar los dos extremos de cada arista de un emparejamiento maximal da un recubrimiento de vértices. ¿Cómo de bueno es este recubrimiento?

  1. ADe calidad desconocida respecto al óptimo
  2. BComo mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
  3. CComo mucho log n veces el mínimo
  4. DSiempre es un recubrimiento de vértices mínimo
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuántos nodos tiene un árbol binario perfecto de altura h, contando la altura en aristas?

  1. A2h+1 − 1
  2. B2h
  3. Ch2
  4. D2h + 1
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué propiedad debe cumplir un árbol rojo-negro?

  1. ATodo camino desde un nodo hasta sus hojas descendientes tiene el mismo número de nodos negros
  2. BTodos los nodos deben ser rojos
  3. CTodo nodo rojo debe tener hijos rojos, así que los nodos rojos forman siempre cadenas ininterrumpidas hasta las hojas
  4. DLa raíz debe ser roja
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K7? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K7
H =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 2 empiezan y terminan en B? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(2ⁿ)

Por qué esta es la respuesta

El número de llamadas se duplica en cada nivel y hay n niveles, así que el total es de unos 2ⁿ, como en las torres de Hanói.

Respuesta

B · O(2ⁿ)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo

Por qué esta es la respuesta

Las aristas del emparejamiento no comparten vértices, así que el óptimo necesita al menos un vértice por arista, mientras que este método toma dos: una 2-aproximación.

Respuesta

B · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · 2h+1 − 1

Por qué esta es la respuesta

Sumar 1 + 2 + 4 + ... + 2h da 2h+1 − 1; por ejemplo, la altura 2 da 7 nodos.

Respuesta

A · 2h+1 − 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Todo camino desde un nodo hasta sus hojas descendientes tiene el mismo número de nodos negros

Por qué esta es la respuesta

Reglas rojo-negro: los nodos son rojos o negros, la raíz es negra, los nodos rojos tienen hijos negros y todos los caminos tienen la misma altura negra, lo que mantiene la altura ≤ 2 log₂(n + 1).

Respuesta

A · Todo camino desde un nodo hasta sus hojas descendientes tiene el mismo número de nodos negros
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 360

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Respuesta

H = 360
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)BB = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 2

Respuesta

N = 2

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