Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Una función ejecuta un bucle de n iteraciones y después, por separado, otro bucle de n iteraciones. ¿Cuál es su complejidad temporal?

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la diferencia entre un problema indecidible y uno intratable?

  1. ALos problemas indecidibles están en NP, mientras que los intratables están en P
  2. BAmbos significan que el problema no tiene ningún algoritmo
  3. CLos problemas intratables no pueden resolverse con ningún algoritmo, mientras que los indecidibles solo necesitan tiempo exponencial
  4. DUn problema indecidible no tiene ningún algoritmo que sirva para todas las entradas; uno intratable sí lo tiene, pero es demasiado lento
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánta memoria usa una lista de adyacencia para un grafo con V vértices y E aristas?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E²)
  3. CO(V²)
  4. DO(V × E)
4.Estructuras de datosDifícil

En el algoritmo de Kruskal para el árbol de expansión mínima, ¿para qué se usa la estructura union-find?

  1. APara ordenar las aristas por peso
  2. BPara comprobar si los dos extremos de una arista ya están conectados
  3. CPara elegir el vértice inicial
  4. DPara almacenar la distancia actual de cada vértice al origen durante la búsqueda
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 18 vértices y 22 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 18|E| = 22
k =
6.Teoría de grafosDifícil
8121225576ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(n)

Por qué esta es la respuesta

n + n = 2n, y los factores constantes se eliminan, así que la función es O(n).

Respuesta

D · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Un problema indecidible no tiene ningún algoritmo que sirva para todas las entradas; uno intratable sí lo tiene, pero es demasiado lento

Por qué esta es la respuesta

El problema de la parada no tiene ningún algoritmo; un problema NP-difícil como el del viajante puede resolverse por fuerza bruta, solo que no en un tiempo polinómico conocido.

Respuesta

D · Un problema indecidible no tiene ningún algoritmo que sirva para todas las entradas; uno intratable sí lo tiene, pero es demasiado lento
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · O(V + E)

Por qué esta es la respuesta

Cada vértice tiene una lista y cada arista aparece una vez (dirigido) o dos veces (no dirigido), lo que da O(V + E).

Respuesta

A · O(V + E)
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Para comprobar si los dos extremos de una arista ya están conectados

Por qué esta es la respuesta

Find indica si ambos extremos están en la misma componente; si no lo están, se añade la arista y union fusiona las componentes.

Respuesta

B · Para comprobar si los dos extremos de una arista ya están conectados
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 5

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

18 − 1 = 17

Aristas que quitar

k = 22 − 17 = 5

Respuesta

k = 5
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 21

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 8, C: 12
B (8): E: 14
C (12)
E (14): D: 19, F: 21
D (19)
F (21)

Camino más corto

A → B → E → F
d(F) = 21

Respuesta

d(F) = 21

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