Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de calcular el n-ésimo número de Fibonacci con una tabla ascendente (bottom-up)?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué se deduciría si alguien hallara un algoritmo de tiempo polinómico para un problema NP-completo?

  1. ASolo ese problema pasaría a P
  2. BEl problema de la parada se volvería decidible
  3. CTodos los algoritmos de tiempo exponencial pasarían de inmediato a ejecutarse en tiempo lineal
  4. DTodo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP
3.Estructuras de datosMedia

¿Por qué recorrer un arreglo suele ser en la práctica mucho más rápido que recorrer una lista enlazada de la misma longitud?

  1. ALos elementos del arreglo son contiguos, así que aprovechan bien la caché de la CPU
  2. BLas listas enlazadas siempre almacenan los elementos en disco
  3. CRecorrer un arreglo es O(1) en total, mientras que recorrer una lista enlazada es O(n)
  4. DLos arreglos usan menos instrucciones para comparar valores
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cómo se puede detectar si una lista simplemente enlazada contiene un ciclo usando O(1) de memoria adicional?

  1. AMover un puntero de uno en uno y otro de dos en dos y comprobar si se encuentran
  2. BGuardar cada nodo visitado en un conjunto hash
  3. CContar los nodos hasta que la cuenta supere el campo de longitud de la lista
  4. DOrdenar la lista y buscar duplicados
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
715151764129ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 4; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Rellenar la tabla de 0 a n requiere una suma por entrada, así que el trabajo es lineal en lugar de exponencial.

Respuesta

C · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Todo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP

Por qué esta es la respuesta

Como todo NP se reduce en tiempo polinómico a cualquier problema NP-completo, un algoritmo rápido para uno da un algoritmo rápido para todos.

Respuesta

D · Todo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Los elementos del arreglo son contiguos, así que aprovechan bien la caché de la CPU

Por qué esta es la respuesta

La memoria contigua ofrece una buena localidad de referencia, mientras que los nodos enlazados pueden estar dispersos y provocar muchos fallos de caché.

Respuesta

A · Los elementos del arreglo son contiguos, así que aprovechan bien la caché de la CPU
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Mover un puntero de uno en uno y otro de dos en dos y comprobar si se encuentran

Por qué esta es la respuesta

En el algoritmo de Floyd, si hay un ciclo, el puntero rápido acaba alcanzando al lento; si no, el puntero rápido llega a null.

Respuesta

A · Mover un puntero de uno en uno y otro de dos en dos y comprobar si se encuentran
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Vértices impares

A, C, E, F → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: F

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 7, C: 15
2. B (7): D: 8, E: 16
3. D (8): E: 14, F: 12
4. F (12)
5. E (14)
6. C (15)

ronda 4

F

Respuesta

F

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