Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Por qué la programación dinámica no aporta ninguna mejora real a merge sort?

  1. AMerge sort no tiene estructura recursiva
  2. BLa programación dinámica solo funciona con problemas de grafos, no con arreglos
  3. CMerge sort ya es O(n)
  4. DSus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué la búsqueda media en una tabla hash es O(1) pero el peor caso es O(n)?

  1. ALas claves deben ordenarse primero
  2. BLos arrays tienen acceso O(n)
  3. CMuchas claves pueden colisionar en el mismo bucket
  4. DLas funciones hash son lentas
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánta memoria usa una lista de adyacencia para un grafo con V vértices y E aristas?

  1. AO(E²)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
4.Estructuras de datosDifícil

Sin unión por rango ni compresión de caminos, ¿cuál es el coste en el peor caso de un solo find en una estructura union-find con n elementos?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(α(n))
  4. DO(1)
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
81074421111ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(D) del camino más corto de A a D en el grafo ponderado.

inicio: Afin: D
d(D) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Sus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar

Por qué esta es la respuesta

Las mitades de merge sort son disjuntas y cada una se resuelve una sola vez; la PD solo ayuda cuando los subproblemas se repiten, como en Fibonacci.

Respuesta

D · Sus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Muchas claves pueden colisionar en el mismo bucket

Por qué esta es la respuesta

Con una buena función hash y un factor de carga adecuado, los buckets se mantienen cortos en promedio; un hashing malicioso o deficiente puede poner todas las claves en un mismo bucket.

Respuesta

C · Muchas claves pueden colisionar en el mismo bucket
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · O(V + E)

Por qué esta es la respuesta

Cada vértice tiene una lista y cada arista aparece una vez (dirigido) o dos veces (no dirigido), lo que da O(V + E).

Respuesta

C · O(V + E)
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Las uniones ingenuas pueden enlazar los árboles formando una cadena larga, así que find puede tener que seguir n − 1 punteros al padre; las dos heurísticas lo acercan a un coste constante.

Respuesta

A · O(n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Vértices impares

B, D → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(D) = 18

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 8, C: 10
B (8): E: 19
C (10): E: 14
E (14): D: 18, F: 25
D (18): F: 20
F (20)

Camino más corto

A → C → E → D
d(D) = 18

Respuesta

d(D) = 18

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