Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Por qué muchas rutinas de ordenación de las bibliotecas cambian al ordenamiento por inserción para subarrays muy pequeños?

  1. AEl ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas
  2. BLos algoritmos recursivos no pueden tratar arrays de menos de 10 elementos
  3. CEl ordenamiento por inserción usa menos memoria que cualquier otro algoritmo de ordenamiento con entradas grandes
  4. DEl ordenamiento por inserción es O(n log n) en el peor caso
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cómo detecta el algoritmo de Bellman-Ford un ciclo de peso negativo alcanzable desde el origen?

  1. AEjecuta dos veces el algoritmo de Dijkstra y compara los dos resultados de distancias
  2. BTras V − 1 rondas, comprueba si alguna arista todavía puede relajarse
  3. CCuenta los ciclos con una búsqueda en profundidad
  4. DComprueba si alguna arista tiene peso negativo
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué estructura de datos utiliza la búsqueda en profundidad (DFS) en su versión iterativa?

  1. AUna cola
  2. BUn montículo
  3. CUna pila
  4. DSolo una tabla hash
4.Estructuras de datosDifícil

Un árbol de segmentos (segment tree) se usa normalmente para:

  1. AResponder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)
  2. BImplementar una pila
  3. CAlmacenar las aristas de un grafo
  4. DOrdenar cadenas alfabéticamente almacenando cada prefijo en un nodo distinto del árbol
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K5? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K5
H =
6.Teoría de grafosDifícil
1615185101114113ABCDEF

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice C. Haz clic en la arista que añade como arista número 3.

inicio: Ck = 3
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista DF
  8. 8arista EF
  9. 9arista BE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · El ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas

Por qué esta es la respuesta

Para n pequeño, el bucle sencillo del ordenamiento por inserción supera la sobrecarga de la recursión de quicksort o merge sort, aunque sea O(n²).

Respuesta

A · El ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Tras V − 1 rondas, comprueba si alguna arista todavía puede relajarse

Por qué esta es la respuesta

Todas las distancias mínimas reales se hallan en V − 1 rondas; si una arista todavía puede mejorarse, debe existir un ciclo negativo.

Respuesta

B · Tras V − 1 rondas, comprueba si alguna arista todavía puede relajarse
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Una pila

Por qué esta es la respuesta

DFS explora lo más profundo posible y usa de forma natural una pila (o la pila de llamadas de la recursión); BFS usa una cola.

Respuesta

C · Una pila
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Responder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Un árbol de segmentos almacena agregados de intervalos y permite consultas por rangos y actualizaciones puntuales en tiempo O(log n).

Respuesta

A · Responder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 12

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Respuesta

H = 12
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista DE

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. CE (10)
2. EF (1)
3. DE (11)
4. BD (5)
5. AC (15)

arista número 3

DE

Respuesta

arista DE

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