Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué algoritmo encuentra los caminos más cortos desde un origen en un grafo con pesos de aristas no negativos?

  1. AAlgoritmo de Kruskal
  2. BAlgoritmo de Dijkstra
  3. CBellman-Ford es necesario en todos los casos
  4. DBúsqueda en profundidad (DFS)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la diferencia entre un problema indecidible y uno intratable?

  1. ALos problemas intratables no pueden resolverse con ningún algoritmo, mientras que los indecidibles solo necesitan tiempo exponencial
  2. BLos problemas indecidibles están en NP, mientras que los intratables están en P
  3. CUn problema indecidible no tiene ningún algoritmo que sirva para todas las entradas; uno intratable sí lo tiene, pero es demasiado lento
  4. DAmbos significan que el problema no tiene ningún algoritmo
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué condición de equilibrio mantiene un árbol AVL en cada nodo?

  1. ALas alturas de los subárboles izquierdo y derecho difieren como máximo en 1
  2. BAmbos subárboles de cada nodo contienen exactamente el mismo número de nodos
  3. CTodas las hojas están exactamente a la misma profundidad
  4. DCada nodo está coloreado de rojo o de negro
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué no se pueden eliminar elementos de un filtro de Bloom estándar simplemente poniendo a cero sus bits?

  1. ALos bits de un filtro de Bloom no pueden cambiarse después de crearlo
  2. BEsos bits pueden pertenecer también a otros elementos, lo que causaría falsos negativos
  3. CLos filtros de Bloom almacenan los elementos completos, que ya no pueden volver a localizarse una vez aplicado el hash
  4. DEliminar elevaría la tasa de falsos positivos al 100%
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 13 vértices y 23 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 13|E| = 23
k =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos de longitud 3 van de C a D? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 3
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Algoritmo de Dijkstra

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Dijkstra funciona con pesos no negativos; Bellman-Ford admite pesos negativos; Kruskal construye árboles de expansión mínima.

Respuesta

B · Algoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Un problema indecidible no tiene ningún algoritmo que sirva para todas las entradas; uno intratable sí lo tiene, pero es demasiado lento

Por qué esta es la respuesta

El problema de la parada no tiene ningún algoritmo; un problema NP-difícil como el del viajante puede resolverse por fuerza bruta, solo que no en un tiempo polinómico conocido.

Respuesta

C · Un problema indecidible no tiene ningún algoritmo que sirva para todas las entradas; uno intratable sí lo tiene, pero es demasiado lento
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Las alturas de los subárboles izquierdo y derecho difieren como máximo en 1

Por qué esta es la respuesta

El factor de equilibrio (altura izquierda − altura derecha) debe ser −1, 0 o 1; las rotaciones lo restablecen tras las inserciones y eliminaciones.

Respuesta

A · Las alturas de los subárboles izquierdo y derecho difieren como máximo en 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Esos bits pueden pertenecer también a otros elementos, lo que causaría falsos negativos

Por qué esta es la respuesta

Poner a cero un bit compartido haría que otro elemento pareciera ausente; los filtros de Bloom con contadores (counting Bloom filters) guardan contadores en lugar de bits para permitir eliminaciones.

Respuesta

B · Esos bits pueden pertenecer también a otros elementos, lo que causaría falsos negativos
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 11

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

13 − 1 = 12

Aristas que quitar

k = 23 − 12 = 11

Respuesta

k = 11
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Un paso más

(M³)CD = 1·0 + 1·1 + 2·0 + 2·0 + 1·1 = 2

Respuesta

N = 2

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