Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué se deduciría si alguien hallara un algoritmo de tiempo polinómico para un problema NP-completo?

  1. AEl problema de la parada se volvería decidible
  2. BTodos los algoritmos de tiempo exponencial pasarían de inmediato a ejecutarse en tiempo lineal
  3. CTodo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP
  4. DSolo ese problema pasaría a P
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de buscar una clave en un árbol binario de búsqueda balanceado?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
4.Estructuras de datosDifícil

En una tabla hash con direccionamiento abierto, ¿por qué la eliminación suele hacerse con un marcador «lápida» (tombstone)?

  1. AHace que la tabla quede ordenada
  2. BLas lápidas aceleran el hashing
  3. CLas claves eliminadas deben conservarse para siempre por seguridad, así que las posiciones nunca pueden reutilizarse
  4. DVaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
1145319171311ABCDEF

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice F. Haz clic en la arista que añade como arista número 5.

inicio: Fk = 5
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista DF
  8. 8arista EF

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

El problema se reduce a la mitad en cada paso con trabajo constante por paso, así que hay unos log₂ n pasos.

Respuesta

B · O(log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Todo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP

Por qué esta es la respuesta

Como todo NP se reduce en tiempo polinómico a cualquier problema NP-completo, un algoritmo rápido para uno da un algoritmo rápido para todos.

Respuesta

C · Todo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Un árbol balanceado tiene una altura de aproximadamente log₂ n, así que una búsqueda sigue un único camino desde la raíz hasta una hoja.

Respuesta

B · O(log n)
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Vaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves

Por qué esta es la respuesta

Si una posición eliminada quedara vacía, las búsquedas posteriores podrían detenerse antes de tiempo y no encontrar claves colocadas más adelante en la cadena de sondeo.

Respuesta

D · Vaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista BC

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. EF (11)
2. DF (13)
3. BD (3)
4. AB (1)
5. BC (5)

arista número 5

BC

Respuesta

arista BC

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