Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal amortizada de añadir al final de un array dinámico que duplica su capacidad cuando está lleno?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué cota es correcta para log(n!)?

  1. AΘ(log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n log n)
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué se cumple en la matriz de adyacencia de un grafo no dirigido?

  1. ASiempre es triangular superior
  2. BCada fila tiene exactamente un 1
  3. CEs simétrica respecto a la diagonal principal
  4. DSu diagonal principal siempre contiene unos
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cómo se puede detectar si una lista simplemente enlazada contiene un ciclo usando O(1) de memoria adicional?

  1. AMover un puntero de uno en uno y otro de dos en dos y comprobar si se encuentran
  2. BOrdenar la lista y buscar duplicados
  3. CGuardar cada nodo visitado en un conjunto hash
  4. DContar los nodos hasta que la cuenta supere el campo de longitud de la lista
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 18 vértices y 25 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 18|E| = 25
k =
6.Teoría de grafosDifícil
167171018412153ABCDEFG

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice A. Haz clic en la arista que añade como arista número 2.

inicio: Ak = 2
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DF
  7. 7arista EF
  8. 8arista GB
  9. 9arista GC
  10. 10arista GE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(1)

Por qué esta es la respuesta

Todos los elementos se copian solo en potencias de dos; repartido entre todas las inserciones, el coste medio por inserción es constante.

Respuesta

A · O(1)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Θ(n log n)

Por qué esta es la respuesta

log(n!) ≤ n log n, y los n / 2 factores mayores dan log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); por eso la ordenación por comparaciones necesita Ω(n log n).

Respuesta

D · Θ(n log n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Es simétrica respecto a la diagonal principal

Por qué esta es la respuesta

En un grafo no dirigido, la arista {u, v} implica que tanto M[u][v] como M[v][u] están marcadas, así que la matriz es igual a su traspuesta.

Respuesta

C · Es simétrica respecto a la diagonal principal
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Mover un puntero de uno en uno y otro de dos en dos y comprobar si se encuentran

Por qué esta es la respuesta

En el algoritmo de Floyd, si hay un ciclo, el puntero rápido acaba alcanzando al lento; si no, el puntero rápido llega a null.

Respuesta

A · Mover un puntero de uno en uno y otro de dos en dos y comprobar si se encuentran
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 8

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

18 − 1 = 17

Aristas que quitar

k = 25 − 17 = 8

Respuesta

k = 8
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista CE

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. AC (7)
2. CE (1)
3. GE (3)
4. EF (4)
5. DF (8)
6. BD (10)

arista número 2

CE

Respuesta

arista CE

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