Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de quicksort en el peor caso?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué algoritmo encuentra un árbol de expansión mínima añadiendo repetidamente la arista más barata que no forme un ciclo?

  1. AAlgoritmo de Dijkstra
  2. BFloyd-Warshall
  3. CAlgoritmo de Prim empezando desde un nodo
  4. DAlgoritmo de Kruskal
3.Estructuras de datosMedia

Los árboles AVL y los árboles rojo-negro garantizan:

  1. AQue las claves se almacenen en orden de inserción
  2. BBúsqueda en tiempo constante en todos los casos
  3. CUna altura O(log n) mediante el rebalanceo
  4. DQue ningún nodo tenga dos hijos
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué afirmación sobre heapsort es correcta?

  1. AOrdena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable
  2. BNecesita un árbol binario de búsqueda como almacenamiento adicional, así que usa O(n) de memoria extra
  3. CEs estable y necesita O(n) de memoria adicional
  4. DSe ejecuta en tiempo O(n) con cualquier entrada
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 14 vértices y 23 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 14|E| = 23
k =
6.Teoría de grafosDifícil
761381455712ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(E) del camino más corto de A a E en el grafo ponderado.

inicio: Afin: E
d(E) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n²)

Por qué esta es la respuesta

Con pivotes malos de forma sistemática (p. ej., una entrada ya ordenada y el primer elemento como pivote) las particiones quedan desequilibradas, lo que da O(n²). El caso promedio es O(n log n).

Respuesta

B · O(n²)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Algoritmo de Kruskal

Por qué esta es la respuesta

Kruskal ordena las aristas por peso y las añade si conectan componentes distintas; Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial.

Respuesta

D · Algoritmo de Kruskal
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Una altura O(log n) mediante el rebalanceo

Por qué esta es la respuesta

Los árboles autobalanceados mantienen una altura logarítmica, así que la búsqueda, la inserción y la eliminación son O(log n) en el peor caso.

Respuesta

C · Una altura O(log n) mediante el rebalanceo
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Ordena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable

Por qué esta es la respuesta

Heapsort construye un max-heap y extrae el máximo n veces dentro del mismo arreglo; los intercambios a larga distancia pueden reordenar claves iguales.

Respuesta

A · Ordena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 10

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

14 − 1 = 13

Aristas que quitar

k = 23 − 13 = 10

Respuesta

k = 10
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(E) = 15

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): C: 7
C (7): B: 13, E: 15
B (13): D: 26, G: 20
E (15): F: 20
F (20): D: 25
G (20)
D (25)

Camino más corto

A → C → E
d(E) = 15

Respuesta

d(E) = 15

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