Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

En el problema de selección de actividades, ¿qué regla voraz da siempre el número máximo de actividades que no se solapan?

  1. AElegir la actividad que empieza antes
  2. BElegir la actividad que termina antes y repetir con las compatibles
  3. CElegir primero la actividad más corta
  4. DElegir primero la actividad con menos solapamientos y repetir con las compatibles
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué definición de la clase NP es correcta?

  1. AProblemas que ningún algoritmo puede resolver
  2. BProblemas que no son polinómicos
  3. CProblemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado
  4. DProblemas que no pueden resolverse en tiempo polinómico
3.Estructuras de datosMedia

Las claves 50, 30, 70, 20, 40 se insertan en este orden en un árbol binario de búsqueda vacío. ¿Cuál es el hijo izquierdo de 30?

  1. A40
  2. B70
  3. C50
  4. D20
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué propiedad debe cumplir un árbol rojo-negro?

  1. ATodo nodo rojo debe tener hijos rojos, así que los nodos rojos forman siempre cadenas ininterrumpidas hasta las hojas
  2. BLa raíz debe ser roja
  3. CTodo camino desde un nodo hasta sus hojas descendientes tiene el mismo número de nodos negros
  4. DTodos los nodos deben ser rojos
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 3 empiezan y terminan en D? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 3
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Elegir la actividad que termina antes y repetir con las compatibles

Por qué esta es la respuesta

Puede demostrarse con un argumento de intercambio que elegir la que termina antes es óptimo; las demás reglas tienen contraejemplos.

Respuesta

B · Elegir la actividad que termina antes y repetir con las compatibles
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Problemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado

Por qué esta es la respuesta

En un problema NP, una solución propuesta (certificado) puede comprobarse rápidamente, por ejemplo verificar que una asignación dada satisface una fórmula booleana.

Respuesta

C · Problemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · 20

Por qué esta es la respuesta

20 es menor que 50 y menor que 30, así que pasa a ser el hijo izquierdo de 30; 40 pasa a ser su hijo derecho.

Respuesta

D · 20
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Todo camino desde un nodo hasta sus hojas descendientes tiene el mismo número de nodos negros

Por qué esta es la respuesta

Reglas rojo-negro: los nodos son rojos o negros, la raíz es negra, los nodos rojos tienen hijos negros y todos los caminos tienen la misma altura negra, lo que mantiene la altura ≤ 2 log₂(n + 1).

Respuesta

C · Todo camino desde un nodo hasta sus hojas descendientes tiene el mismo número de nodos negros
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Vértices impares

A, B, C, F → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Un paso más

(M³)DD = 0·0 + 1·1 + 2·0 + 2·0 + 1·1 = 2

Respuesta

N = 2

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