Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de multiplicar dos matrices n × n con el triple bucle estándar?

  1. AO(n²)
  2. BO(n² log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n³)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué estableció el teorema de Cook-Levin?

  1. AEl problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
  2. BP no es igual a NP
  3. CTodo problema NP puede resolverse en tiempo exponencial
  4. DEl problema de la parada es indecidible
3.Estructuras de datosMedia

Un trie (árbol de prefijos) es especialmente eficiente para:

  1. ABúsquedas por prefijo, como el autocompletado
  2. BOrdenar números
  3. CAlmacenar matrices
  4. DEncontrar caminos más cortos
4.Estructuras de datosDifícil

Al insertar una clave en un árbol AVL, el subárbol izquierdo de un nodo queda demasiado alto, y la nueva clave fue al subárbol izquierdo de su hijo izquierdo (caso izquierda-izquierda). ¿Qué corrección se aplica?

  1. ARecolorear el nodo y su hijo
  2. BUna rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado
  3. CUna rotación a la izquierda en el hijo y luego una rotación a la derecha en el nodo
  4. DUna rotación simple a la izquierda en el nodo desequilibrado
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 5, 4 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
131146101012514ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(n³)

Por qué esta es la respuesta

Hay n² entradas y cada una necesita n multiplicaciones, lo que da n³ operaciones.

Respuesta

D · O(n³)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo

Por qué esta es la respuesta

Cook y Levin demostraron de forma independiente que todo problema de NP se reduce a SAT en tiempo polinómico, así que SAT fue el primer problema NP-completo conocido.

Respuesta

A · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Búsquedas por prefijo, como el autocompletado

Por qué esta es la respuesta

Los tries almacenan cadenas carácter a carácter a lo largo de caminos, así que las búsquedas y consultas por prefijo tardan un tiempo proporcional a la longitud de la clave.

Respuesta

A · Búsquedas por prefijo, como el autocompletado
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Una rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado

Por qué esta es la respuesta

En el caso izquierda-izquierda, una rotación a la derecha sube el hijo izquierdo y restablece el equilibrio; los casos en zigzag necesitan una rotación doble.

Respuesta

B · Una rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 8

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 18 = 2(L + 6) − 2
L = 8

Respuesta

L = 8

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 16

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 13, C: 1
C (1): E: 11
E (11): D: 21, F: 16
B (13): D: 19
F (16)
D (19)

Camino más corto

A → C → E → F
d(F) = 16

Respuesta

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms