Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuánto espacio de pila usa una función factorial recursiva sencilla fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Tomar los dos extremos de cada arista de un emparejamiento maximal da un recubrimiento de vértices. ¿Cómo de bueno es este recubrimiento?

  1. AComo mucho log n veces el mínimo
  2. BComo mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
  3. CSiempre es un recubrimiento de vértices mínimo
  4. DDe calidad desconocida respecto al óptimo
3.Estructuras de datosMedia

Un búfer circular (ring buffer) se usa habitualmente para implementar:

  1. AUna función hash
  2. BUn árbol binario de búsqueda
  3. CUn recorrido de grafo
  4. DUna cola de tamaño fijo
4.Estructuras de datosDifícil

Eliminar un nodo con dos hijos de un árbol binario de búsqueda se hace normalmente:

  1. AEliminando todo el subárbol
  2. BReconstruyendo desde cero el subárbol que hay debajo y reinsertando todas las claves que contenía
  3. CIntercambiándolo con la raíz
  4. DReemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 3, 3 vértices de grado 4, 4 vértices de grado 5, 4 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 33 × deg 44 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
831111615174710ABCDEFG

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice F. Haz clic en la arista que añade como arista número 3.

inicio: Fk = 3
  1. 1arista AB
  2. 2arista BC
  3. 3arista BD
  4. 4arista CE
  5. 5arista DE
  6. 6arista DF
  7. 7arista EF
  8. 8arista GB
  9. 9arista GD
  10. 10arista GE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n)

Por qué esta es la respuesta

La recursión alcanza n llamadas de profundidad antes de que ninguna termine, y cada llamada necesita un marco de pila, así que usa O(n) espacio.

Respuesta

B · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo

Por qué esta es la respuesta

Las aristas del emparejamiento no comparten vértices, así que el óptimo necesita al menos un vértice por arista, mientras que este método toma dos: una 2-aproximación.

Respuesta

B · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una cola de tamaño fijo

Por qué esta es la respuesta

Un búfer circular usa índices de cabeza y cola que dan la vuelta, lo que permite enqueue y dequeue en O(1) con memoria fija.

Respuesta

D · Una cola de tamaño fijo
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Reemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo

Por qué esta es la respuesta

El sucesor en orden tiene como máximo un hijo, por lo que puede eliminarse fácilmente después de copiar su clave en el nodo que se va a eliminar.

Respuesta

D · Reemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 22

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 46 = 2(L + 13) − 2
L = 22

Respuesta

L = 22

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: arista GB

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. DF (15)
2. GD (7)
3. GB (4)
4. BC (3)
5. CE (1)
6. AB (8)

arista número 3

GB

Respuesta

arista GB

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